Математический анализ Примеры

${(\frac{1}{y^{9}})}^{6}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{6}$ и $g (y) = \frac{1}{y^{9}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1}{y^{9}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$6 u^{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{y^{9}}$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{9}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $\frac{1}{y^{9}}$ в виде ${(y^{9})}^{- 1}$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [{(y^{9})}^{- 1}]$

Этап 2.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{9})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [y^{9 \cdot - 1}]$

Этап 2.2.2

Умножим $9$ на $- 1$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{d}{d y} [y^{- 9}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 9$ .

$6 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} (- 9 y^{- 10})$

Этап 2.4

Умножим $- 9$ на $6$ .

$- 54 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} y^{- 10}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 54 {(\frac{1}{y^{9}})}^{5} \frac{1}{y^{10}}$

Этап 3.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{y^{9}}$ .

$- 54 \frac{1^{5}}{{(y^{9})}^{5}} \frac{1}{y^{10}}$

Этап 3.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 54 \frac{1}{{(y^{9})}^{5}} \frac{1}{y^{10}}$

Этап 3.3.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{9})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 54 \frac{1}{y^{9 \cdot 5}} \frac{1}{y^{10}}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $9$ на $5$ .

$- 54 \frac{1}{y^{45}} \frac{1}{y^{10}}$

Этап 3.3.3

Объединим $- 54$ и $\frac{1}{y^{45}}$ .

$\frac{- 54}{y^{45}} \cdot \frac{1}{y^{10}}$

Этап 3.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{54}{y^{45}} \cdot \frac{1}{y^{10}}$

Этап 3.3.5

Умножим $\frac{1}{y^{10}}$ на $\frac{54}{y^{45}}$ .

$- \frac{54}{y^{10} y^{45}}$

Этап 3.3.6

Умножим $y^{10}$ на $y^{45}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{54}{y^{10 + 45}}$

Этап 3.3.6.2

Добавим $10$ и $45$ .

$- \frac{54}{y^{55}}$