Математический анализ Примеры

${(\frac{e^{y} - e^{- y}}{2})}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

$2 \frac{e^{y} - e^{- y}}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $2$ и $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ .

$\frac{2 (e^{y} - e^{- y})}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (e^{y} - e^{- y})}{2} \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Этап 2.2.2

Разделим $e^{y} - e^{- y}$ на $1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{d}{d y} [\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}]$

Этап 2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$ по $y$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [e^{y} - e^{- y}]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [e^{y} - e^{- y}])$

Этап 2.4

По правилу суммы производная $e^{y} - e^{- y}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [e^{y}] + \frac{d}{d y} [- e^{- y}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [a^{y}]$ имеет вид $a^{y} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + \frac{d}{d y} [- e^{- y}])$

Этап 4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- e^{- y}$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [e^{- y}]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - \frac{d}{d y} [e^{- y}])$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- y$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d y} [- y]))$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d y} [- y]))$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- y$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - (e^{- y} \frac{d}{d y} [- y]))$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} - e^{- y} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Этап 6.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + 1 e^{- y} \frac{d}{d y} [y])$

Этап 6.2.2

Умножим $e^{- y}$ на $1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y} \frac{d}{d y} [y])$

Этап 6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y} \cdot 1)$

Этап 6.4

Умножим $e^{- y}$ на $1$ .

$(e^{y} - e^{- y}) \frac{1}{2} (e^{y} + e^{- y})$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(e^{y} \frac{1}{2} - e^{- y} \frac{1}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

Этап 7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $e^{y}$ и $\frac{1}{2}$ .

$(\frac{e^{y}}{2} - e^{- y} \frac{1}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

Этап 7.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $e^{- y}$ .

$(\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) (e^{y} + e^{- y})$

Этап 7.3

Изменим порядок множителей в $(\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) (e^{y} + e^{- y})$ .

$(e^{y} + e^{- y}) (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

Этап 7.4

Развернем $(e^{y} + e^{- y}) (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

Этап 7.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{y} \frac{e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} (\frac{e^{y}}{2} - \frac{e^{- y}}{2})$

Этап 7.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$e^{y} \frac{e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Этап 7.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1

Умножим $e^{y} \frac{e^{y}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1.1

Объединим $e^{y}$ и $\frac{e^{y}}{2}$ .

$\frac{e^{y} e^{y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Этап 7.5.1.1.2

Умножим $e^{y}$ на $e^{y}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{y + y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Этап 7.5.1.1.2.2

Добавим $y$ и $y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} + e^{y} (- \frac{e^{- y}}{2}) + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Этап 7.5.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{e^{2 y}}{2} - e^{y} \frac{e^{- y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Этап 7.5.1.3

Умножим $- e^{y} \frac{e^{- y}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.3.1

Объединим $\frac{e^{- y}}{2}$ и $e^{y}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- y} e^{y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Этап 7.5.1.3.2

Умножим $e^{- y}$ на $e^{y}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.3.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- y + y}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Этап 7.5.1.3.2.2

Добавим $- y$ и $y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{0}}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Этап 7.5.1.3.3

Упростим $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + e^{- y} \frac{e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Этап 7.5.1.4

Умножим $e^{- y} \frac{e^{y}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.4.1

Объединим $e^{- y}$ и $\frac{e^{y}}{2}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- y} e^{y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Этап 7.5.1.4.2

Умножим $e^{- y}$ на $e^{y}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.4.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{- y + y}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Этап 7.5.1.4.2.2

Добавим $- y$ и $y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{e^{0}}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Этап 7.5.1.4.3

Упростим $e^{0}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + e^{- y} (- \frac{e^{- y}}{2})$

Этап 7.5.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - e^{- y} \frac{e^{- y}}{2}$

Этап 7.5.1.6

Умножим $- e^{- y} \frac{e^{- y}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.6.1

Объединим $\frac{e^{- y}}{2}$ и $e^{- y}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- y} e^{- y}}{2}$

Этап 7.5.1.6.2

Умножим $e^{- y}$ на $e^{- y}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1.6.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- y - y}}{2}$

Этап 7.5.1.6.2.2

Вычтем $y$ из $- y$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

Этап 7.5.2

Добавим $- \frac{1}{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} + 0 - \frac{e^{- 2 y}}{2}$

Этап 7.5.3

Добавим $\frac{e^{2 y}}{2}$ и $0$ .

$\frac{e^{2 y}}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{2}$