Математический анализ Примеры

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - e^{x}}{{(y + x)}^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = y e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ и $g (y) = {(y + x)}^{2}$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{({(y + x)}^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${({(y + x)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} \frac{d}{d y} [y e^{x} + x e^{x} - e^{x}] - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $y e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (\frac{d}{d y} [y e^{x}] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Этап 2.3

Поскольку $e^{x}$ является константой относительно $y$ , производная $y e^{x}$ по $y$ равна $e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Этап 2.5

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + \frac{d}{d y} [x e^{x}] + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Этап 2.6

Поскольку $x e^{x}$ является константой относительно $y$ , производная $x e^{x}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + 0 + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Этап 2.7

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + \frac{d}{d y} [- e^{x}]) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Этап 2.8

Поскольку $- e^{x}$ является константой относительно $y$ , производная $- e^{x}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} (e^{x} + 0) - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Этап 2.9

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \frac{d}{d y} [{(y + x)}^{2}]}{{(y + x)}^{4}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = y + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $y + x$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (2 u \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $y + x$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (2 (y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Этап 4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{{(y + x)}^{2} e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Этап 4.2

Вынесем множитель $y + x$ из ${(y + x)}^{2} e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $y + x$ из ${(y + x)}^{2} e^{x}$ .

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x}) - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{4}}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $y + x$ из $- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) ((y + x) \frac{d}{d y} [y + x])$ .

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x}) + (y + x) (- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{{(y + x)}^{4}}$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $y + x$ из $(y + x) ((y + x) e^{x}) + (y + x) (- 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))$ .

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{{(y + x)}^{4}}$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $y + x$ из ${(y + x)}^{4}$ .

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{(y + x) {(y + x)}^{3}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(y + x) ((y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x]))}{(y + x) {(y + x)}^{3}}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y + x])}{{(y + x)}^{3}}$

Этап 6

По правилу суммы производная $y + x$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x]$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [x])}{{(y + x)}^{3}}$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (1 + \frac{d}{d y} [x])}{{(y + x)}^{3}}$

Этап 8

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) (1 + 0)}{{(y + x)}^{3}}$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x}) \cdot 1}{{(y + x)}^{3}}$

Этап 9.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{(y + x) e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 (y e^{x} + x e^{x} - e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 (y e^{x}) - 2 (x e^{x}) - 2 (- e^{x})}{{(y + x)}^{3}}$

Этап 10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{y e^{x} + x e^{x} - 2 y e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

Этап 10.3.2

Вычтем $2 y e^{x}$ из $y e^{x}$ .

$\frac{- y e^{x} + x e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

Этап 10.3.3

Вычтем $2 x e^{x}$ из $x e^{x}$ .

$\frac{- y e^{x} - x e^{x} + 2 e^{x}}{{(y + x)}^{3}}$

Этап 10.4

Изменим порядок членов.

$\frac{- e^{x} y - e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

Этап 10.5

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} y - e^{x} x + 2 e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} y$ .

$\frac{e^{x} (- y) - e^{x} x + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

Этап 10.5.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (- y) + e^{x} (- x) + 2 e^{x}}{{(x + y)}^{3}}$

Этап 10.5.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (- y) + e^{x} (- x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + y)}^{3}}$

Этап 10.5.4

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (- y) + e^{x} (- x)$ .

$\frac{e^{x} (- y - x) + e^{x} \cdot 2}{{(x + y)}^{3}}$

Этап 10.5.5

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (- y - x) + e^{x} \cdot 2$ .

$\frac{e^{x} (- y - x + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Этап 10.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{e^{x} (- (y) - x + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Этап 10.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{e^{x} (- (y) - (x) + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Этап 10.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - (x)$ .

$\frac{e^{x} (- (y + x) + 2)}{{(x + y)}^{3}}$

Этап 10.9

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{e^{x} (- (y + x) - 1 (- 2))}{{(x + y)}^{3}}$

Этап 10.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y + x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{e^{x} (- (y + x - 2))}{{(x + y)}^{3}}$

Этап 10.11

Перепишем $- (y + x - 2)$ в виде $- 1 (y + x - 2)$ .

$\frac{e^{x} (- 1 (y + x - 2))}{{(x + y)}^{3}}$

Этап 10.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{e^{x} (y + x - 2)}{{(x + y)}^{3}}$