Математический анализ Примеры

$\frac{{(y - 1)}^{4}}{{(y^{2} + 2 y)}^{8}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = {(y - 1)}^{4}$ и $g (y) = {(y^{2} + 2 y)}^{8}$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{8} \frac{d}{d y} [{(y - 1)}^{4}] - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{({(y^{2} + 2 y)}^{8})}^{2}}$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${({(y^{2} + 2 y)}^{8})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{8} \frac{d}{d y} [{(y - 1)}^{4}] - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{8 \cdot 2}}$

Этап 2.2

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{8} \frac{d}{d y} [{(y - 1)}^{4}] - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{4}$ и $g (y) = y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y - 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{8} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d y} [y - 1]) - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{8} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d y} [y - 1]) - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y - 1$ .

$\frac{{(y^{2} + 2 y)}^{8} (4 {(y - 1)}^{3} \frac{d}{d y} [y - 1]) - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем $4$ влево от ${(y^{2} + 2 y)}^{8}$ .

$\frac{4 \cdot {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} \frac{d}{d y} [y - 1] - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} (1 + 0) - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} \cdot 1 - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 4.5.2

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - {(y - 1)}^{4} \frac{d}{d y} [{(y^{2} + 2 y)}^{8}]}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y^{2} + 2 y$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - {(y - 1)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{8}] \frac{d}{d y} [y^{2} + 2 y])}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - {(y - 1)}^{4} (8 {u_{2}}^{7} \frac{d}{d y} [y^{2} + 2 y])}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y^{2} + 2 y$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - {(y - 1)}^{4} (8 {(y^{2} + 2 y)}^{7} \frac{d}{d y} [y^{2} + 2 y])}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} \frac{d}{d y} [y^{2} + 2 y])}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 6.2

По правилу суммы производная $y^{2} + 2 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y]$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2 y]))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + \frac{d}{d y} [2 y]))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 6.4

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + 2 \frac{d}{d y} [y]))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 6.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + 2 \cdot 1))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 6.6

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Вынесем множитель $4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3}$ из $4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3} - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + 2))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1.1

Вынесем множитель $4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3}$ из $4 {(y^{2} + 2 y)}^{8} {(y - 1)}^{3}$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y) - 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.1.2

Вынесем множитель $4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3}$ из $- 8 {(y - 1)}^{4} ({(y^{2} + 2 y)}^{7} (2 y + 2))$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y) + 4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 2 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.1.3

Вынесем множитель $4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3}$ из $4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y) + 4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 2 (y - 1) (2 y + 2))$ .

$\frac{4 {(y^{2} + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.2

Вынесем множитель $y$ из $y^{2} + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{4 {(y \cdot y + 2 y)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.2.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$\frac{4 {(y \cdot y + y \cdot 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y + y \cdot 2$ .

$\frac{4 {(y (y + 2))}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.3

Применим правило умножения к $y (y + 2)$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 (y - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y + (- 2 y - 2 \cdot - 1) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.4.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y + (- 2 y + 2) (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.4.3

Развернем $(- 2 y + 2) (2 y + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 y (2 y + 2) + 2 (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.4.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 y (2 y) - 2 y \cdot 2 + 2 (2 y + 2))}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 y (2 y) - 2 y \cdot 2 + 2 (2 y) + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.4.4

Объединим противоположные члены в $- 2 y (2 y) - 2 y \cdot 2 + 2 (2 y) + 2 \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.4.1

Изменим порядок множителей в членах $- 2 y \cdot 2$ и $2 (2 y)$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 y (2 y) - 2 \cdot 2 y + 2 \cdot 2 y + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.4.4.2

Добавим $- 2 \cdot 2 y$ и $2 \cdot 2 y$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 y (2 y) + 0 + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.4.4.3

Добавим $- 2 y (2 y)$ и $0$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 y (2 y) + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 \cdot 2 y \cdot y + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.4.5.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.5.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 \cdot 2 (y \cdot y) + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.4.5.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 2 \cdot 2 y^{2} + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.4.5.3

Умножим $- 2$ на $2$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 4 y^{2} + 2 \cdot 2)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.4.5.4

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (y^{2} + 2 y - 4 y^{2} + 4)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.1.5

Вычтем $4 y^{2}$ из $y^{2}$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{{(y^{2} + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2} + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{{(y \cdot y + 2 y)}^{16}}$

Этап 7.2.1.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{{(y \cdot y + y \cdot 2)}^{16}}$

Этап 7.2.1.3

Вынесем множитель $y$ из $y \cdot y + y \cdot 2$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{{(y (y + 2))}^{16}}$

Этап 7.2.2

Применим правило умножения к $y (y + 2)$ .

$\frac{4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{y^{16} {(y + 2)}^{16}}$

Этап 7.3

Сократим общий множитель $y^{7}$ и $y^{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем множитель $y^{7}$ из $4 y^{7} {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)$ .

$\frac{y^{7} (4 {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4))}{y^{16} {(y + 2)}^{16}}$

Этап 7.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Вынесем множитель $y^{7}$ из $y^{16} {(y + 2)}^{16}$ .

$\frac{y^{7} (4 {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4))}{y^{7} (y^{9} {(y + 2)}^{16})}$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{7} (4 {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4))}{y^{7} (y^{9} {(y + 2)}^{16})}$

Этап 7.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{16}}$

Этап 7.4

Сократим общий множитель ${(y + 2)}^{7}$ и ${(y + 2)}^{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем множитель ${(y + 2)}^{7}$ из $4 {(y + 2)}^{7} {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)$ .

$\frac{{(y + 2)}^{7} (4 {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4))}{y^{9} {(y + 2)}^{16}}$

Этап 7.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.2.1

Вынесем множитель ${(y + 2)}^{7}$ из $y^{9} {(y + 2)}^{16}$ .

$\frac{{(y + 2)}^{7} (4 {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4))}{{(y + 2)}^{7} (y^{9} {(y + 2)}^{9})}$

Этап 7.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(y + 2)}^{7} (4 {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4))}{{(y + 2)}^{7} (y^{9} {(y + 2)}^{9})}$

Этап 7.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- 3 y^{2} + 2 y + 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Этап 7.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 3 y^{2}$ .

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- (3 y^{2}) + 2 y + 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Этап 7.6

Вынесем множитель $- 1$ из $2 y$ .

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- (3 y^{2}) - (- 2 y) + 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Этап 7.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y^{2}) - (- 2 y)$ .

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- (3 y^{2} - 2 y) + 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Этап 7.8

Перепишем $4$ в виде $- 1 (- 4)$ .

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- (3 y^{2} - 2 y) - 1 (- 4))}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Этап 7.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (3 y^{2} - 2 y) - 1 (- 4)$ .

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- (3 y^{2} - 2 y - 4))}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Этап 7.10

Перепишем $- (3 y^{2} - 2 y - 4)$ в виде $- 1 (3 y^{2} - 2 y - 4)$ .

$\frac{4 {(y - 1)}^{3} (- 1 (3 y^{2} - 2 y - 4))}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Этап 7.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(4 {(y - 1)}^{3}) (3 y^{2} - 2 y - 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$

Этап 7.12

Изменим порядок множителей в $- \frac{(4 {(y - 1)}^{3}) (3 y^{2} - 2 y - 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$ .

$- \frac{4 {(y - 1)}^{3} (3 y^{2} - 2 y - 4)}{y^{9} {(y + 2)}^{9}}$