Математический анализ Примеры

$y = x {(x^{4} + 7)}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x^{4} + 7)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x^{4} + 7)}^{3}] + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x^{4} + 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4} + 7$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 7]) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7]) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} + 7$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 7]) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [7])) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (4 x^{3} + 0)) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$x (3 {(x^{4} + 7)}^{2} (4 x^{3})) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.2

Умножим $4$ на $3$ .

$x (12 {(x^{4} + 7)}^{2} x^{3}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{3} x^{1} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{3 + 1} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6

Добавим $3$ и $1$ .

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3} \cdot 1$

Этап 8

Умножим ${(x^{4} + 7)}^{3}$ на $1$ .

$x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель ${(x^{4} + 7)}^{2}$ из $x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2}) + {(x^{4} + 7)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вынесем множитель ${(x^{4} + 7)}^{2}$ из $x^{4} (12 {(x^{4} + 7)}^{2})$ .

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 7)}^{3}$

Этап 9.1.2

Вынесем множитель ${(x^{4} + 7)}^{2}$ из ${(x^{4} + 7)}^{3}$ .

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} + 7)$

Этап 9.1.3

Вынесем множитель ${(x^{4} + 7)}^{2}$ из ${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12)) + {(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} + 7)$ .

${(x^{4} + 7)}^{2} (x^{4} \cdot (12) + x^{4} + 7)$

Этап 9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Перенесем $12$ влево от $x^{4}$ .

${(x^{4} + 7)}^{2} (12 \cdot x^{4} + x^{4} + 7)$

Этап 9.2.2

Добавим $12 x^{4}$ и $x^{4}$ .

${(x^{4} + 7)}^{2} (13 x^{4} + 7)$

Этап 9.3

Перепишем ${(x^{4} + 7)}^{2}$ в виде $(x^{4} + 7) (x^{4} + 7)$ .

$(x^{4} + 7) (x^{4} + 7) (13 x^{4} + 7)$

Этап 9.4

Развернем $(x^{4} + 7) (x^{4} + 7)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{4} (x^{4} + 7) + 7 (x^{4} + 7)) (13 x^{4} + 7)$

Этап 9.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 7 + 7 (x^{4} + 7)) (13 x^{4} + 7)$

Этап 9.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 7 + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

Этап 9.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.1

Умножим $x^{4}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(x^{4 + 4} + x^{4} \cdot 7 + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

Этап 9.5.1.1.2

Добавим $4$ и $4$ .

$(x^{8} + x^{4} \cdot 7 + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

Этап 9.5.1.2

Перенесем $7$ влево от $x^{4}$ .

$(x^{8} + 7 \cdot x^{4} + 7 x^{4} + 7 \cdot 7) (13 x^{4} + 7)$

Этап 9.5.1.3

Умножим $7$ на $7$ .

$(x^{8} + 7 x^{4} + 7 x^{4} + 49) (13 x^{4} + 7)$

Этап 9.5.2

Добавим $7 x^{4}$ и $7 x^{4}$ .

$(x^{8} + 14 x^{4} + 49) (13 x^{4} + 7)$

Этап 9.6

Развернем $(x^{8} + 14 x^{4} + 49) (13 x^{4} + 7)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{8} (13 x^{4}) + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Этап 9.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$13 x^{8} x^{4} + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Этап 9.7.2

Умножим $x^{8}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.2.1

Перенесем $x^{4}$ .

$13 (x^{4} x^{8}) + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Этап 9.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$13 x^{4 + 8} + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Этап 9.7.2.3

Добавим $4$ и $8$ .

$13 x^{12} + x^{8} \cdot 7 + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Этап 9.7.3

Перенесем $7$ влево от $x^{8}$ .

$13 x^{12} + 7 \cdot x^{8} + 14 x^{4} (13 x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Этап 9.7.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 x^{4} x^{4} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Этап 9.7.5

Умножим $x^{4}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.7.5.1

Перенесем $x^{4}$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 (x^{4} x^{4}) + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Этап 9.7.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 x^{4 + 4} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Этап 9.7.5.3

Добавим $4$ и $4$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 14 \cdot 13 x^{8} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Этап 9.7.6

Умножим $14$ на $13$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 14 x^{4} \cdot 7 + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Этап 9.7.7

Умножим $7$ на $14$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 98 x^{4} + 49 (13 x^{4}) + 49 \cdot 7$

Этап 9.7.8

Умножим $13$ на $49$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 98 x^{4} + 637 x^{4} + 49 \cdot 7$

Этап 9.7.9

Умножим $49$ на $7$ .

$13 x^{12} + 7 x^{8} + 182 x^{8} + 98 x^{4} + 637 x^{4} + 343$

Этап 9.8

Добавим $7 x^{8}$ и $182 x^{8}$ .

$13 x^{12} + 189 x^{8} + 98 x^{4} + 637 x^{4} + 343$

Этап 9.9

Добавим $98 x^{4}$ и $637 x^{4}$ .

$13 x^{12} + 189 x^{8} + 735 x^{4} + 343$