Математический анализ Примеры

$y = x \ln ({(x)}^{3})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x^{3})$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3}$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3}$ .

$x (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{x^{3}}$ и $x$ .

$\frac{x}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Сократим общий множитель $x$ и $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{1}}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2}) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3}{x^{2}} x^{2} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.2

Объединим $\frac{3}{x^{2}}$ и $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.3.2

Разделим $3$ на $1$ .

$3 + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 + \ln (x^{3}) \cdot 1$

Этап 3.6

Умножим $\ln (x^{3})$ на $1$ .

$3 + \ln (x^{3})$