Математический анализ Примеры

$y = x (9 - x^{2})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 9 - x^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [9 - x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $9 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (- (2 x)) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$x (- 2 x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 (x^{1} x) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{1}) + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 x^{1 + 1} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 6

Добавим $1$ и $1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + (9 - x^{2}) \cdot 1$

Этап 8

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $9 - x^{2}$ на $1$ .

$- 2 x^{2} + 9 - x^{2}$

Этап 8.2

Вычтем $x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 9$