Математический анализ Примеры

$y = x (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$ .

$x \frac{d}{d x} [4 x^{3} + 3 x^{2} - 6] + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$x (\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x (4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x (4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4

Умножим $3$ на $4$ .

$x (12 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (12 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$x (12 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.7

Умножим $2$ на $3$ .

$x (12 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- 6]) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.8

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (12 x^{2} + 6 x + 0) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.9

Добавим $12 x^{2} + 6 x$ и $0$ .

$x (12 x^{2} + 6 x) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (12 x^{2} + 6 x) + (4 x^{3} + 3 x^{2} - 6) \cdot 1$

Этап 2.11

Умножим $4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$ на $1$ .

$x (12 x^{2} + 6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (12 x^{2}) + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Этап 3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 (x^{1} x^{2}) + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Этап 3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x^{1 + 2} + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Этап 3.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$12 x^{3} + x (6 x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Этап 3.2.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 x^{3} + 6 (x^{1} x) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Этап 3.2.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$12 x^{3} + 6 (x^{1} x^{1}) + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Этап 3.2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$12 x^{3} + 6 x^{1 + 1} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Этап 3.2.7

Добавим $1$ и $1$ .

$12 x^{3} + 6 x^{2} + 4 x^{3} + 3 x^{2} - 6$

Этап 3.2.8

Добавим $12 x^{3}$ и $4 x^{3}$ .

$16 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x^{2} - 6$

Этап 3.2.9

Добавим $6 x^{2}$ и $3 x^{2}$ .

$16 x^{3} + 9 x^{2} - 6$