Математический анализ Примеры

$y = \sin (x) + \cos (2 x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $\sin (x) + \cos (2 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.1.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$\cos (x) - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\cos (x) - \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (x) - \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (x) - \sin (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\cos (x) - \sin (2 x) \cdot 2$

Этап 3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\cos (x) - 2 \sin (2 x)$