Математический анализ Примеры

$\frac{7 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $7 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{7 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$ по $y$ равна $7 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}]$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}]$

Этап 1.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем $\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{2}}$ в виде ${({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}]$

Этап 1.2.2

Перемножим экспоненты в ${({(7 x + 13 y)}^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{(7 x + 13 y)}^{2 \cdot - 1}]$

Этап 1.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$7 x^{2} \frac{d}{d y} [{(7 x + 13 y)}^{- 2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{- 2}$ и $g (y) = 7 x + 13 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $7 x + 13 y$ .

$7 x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$7 x^{2} (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $7 x + 13 y$ .

$7 x^{2} (- 2 {(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 2$ на $7$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [7 x + 13 y])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $7 x + 13 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [7 x] + \frac{d}{d y} [13 y]$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (\frac{d}{d y} [7 x] + \frac{d}{d y} [13 y]))$

Этап 3.3

Поскольку $7 x$ является константой относительно $y$ , производная $7 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (0 + \frac{d}{d y} [13 y]))$

Этап 3.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [13 y]$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [13 y])$

Этап 3.5

Поскольку $13$ является константой относительно $y$ , производная $13 y$ по $y$ равна $13 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 14 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} (13 \frac{d}{d y} [y]))$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Перенесем $13$ влево от ${(7 x + 13 y)}^{- 3}$ .

$- 14 x^{2} (13 \cdot {(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [y])$

Этап 3.6.2

Умножим $13$ на $- 14$ .

$- 182 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \frac{d}{d y} [y])$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 182 x^{2} ({(7 x + 13 y)}^{- 3} \cdot 1)$

Этап 3.8

Умножим ${(7 x + 13 y)}^{- 3}$ на $1$ .

$- 182 x^{2} {(7 x + 13 y)}^{- 3}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 182 x^{2} \frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $- 182$ и $\frac{1}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$ .

$x^{2} \frac{- 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Этап 4.2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{- 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 182}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Этап 4.2.3

Перенесем $- 182$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{- 182 \cdot x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$

Этап 4.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{182 x^{2}}{{(7 x + 13 y)}^{3}}$