Математический анализ Примеры

$π e^{\sin (x + y)} - \frac{π}{4}$

Этап 1

По правилу суммы производная $π e^{\sin (x + y)} - \frac{π}{4}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [π e^{\sin (x + y)}] + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$ .

$\frac{d}{d y} [π e^{\sin (x + y)}] + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [π e^{\sin (x + y)}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $π$ является константой относительно $y$ , производная $π e^{\sin (x + y)}$ по $y$ равна $π \frac{d}{d y} [e^{\sin (x + y)}]$ .

$π \frac{d}{d y} [e^{\sin (x + y)}] + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = \sin (x + y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (x + y)$ .

$π (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d y} [\sin (x + y)]) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$π (e^{u_{1}} \frac{d}{d y} [\sin (x + y)]) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (x + y)$ .

$π (e^{\sin (x + y)} \frac{d}{d y} [\sin (x + y)]) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x + y$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d y} [x + y])) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Этап 2.3.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d y} [x + y])) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x + y$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) \frac{d}{d y} [x + y])) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Этап 2.4

По правилу суммы производная $x + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]))) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Этап 2.5

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) (0 + \frac{d}{d y} [y]))) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) (0 + 1))) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Этап 2.7

Добавим $0$ и $1$ .

$π (e^{\sin (x + y)} (\cos (x + y) \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Этап 2.8

Умножим $\cos (x + y)$ на $1$ .

$π e^{\sin (x + y)} \cos (x + y) + \frac{d}{d y} [- \frac{π}{4}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- \frac{π}{4}$ является константой относительно $y$ , производная $- \frac{π}{4}$ относительно $y$ равна $0$ .

$π e^{\sin (x + y)} \cos (x + y) + 0$

Этап 3.2

Добавим $π e^{\sin (x + y)} \cos (x + y)$ и $0$ .

$π e^{\sin (x + y)} \cos (x + y)$