Математический анализ Примеры

$\frac{x}{x - y}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x}{x - y}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x - y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{1}{x - y}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{x - y}$ в виде ${(x - y)}^{- 1}$ .

$x \frac{d}{d y} [{(x - y)}^{- 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{- 1}$ и $g (y) = x - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [x - y])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [x - y])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - y$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [x - y])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x - y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]))$

Этап 3.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d y} [- y]))$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [- y])$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (- {(x - y)}^{- 2} (- \frac{d}{d y} [y]))$

Этап 3.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x (1 {(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y])$

Этап 3.5.2

Умножим ${(x - y)}^{- 2}$ на $1$ .

$x ({(x - y)}^{- 2} \frac{d}{d y} [y])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x ({(x - y)}^{- 2} \cdot 1)$

Этап 3.7

Умножим ${(x - y)}^{- 2}$ на $1$ .

$x {(x - y)}^{- 2}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{1}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 4.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{{(x - y)}^{2}}$ .

$\frac{x}{{(x - y)}^{2}}$