Математический анализ Примеры

$\frac{x y}{3 x + 8 y}$

Этап 1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x y}{3 x + 8 y}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [\frac{y}{3 x + 8 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [\frac{y}{3 x + 8 y}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = 3 x + 8 y$ .

$x \frac{(3 x + 8 y) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x \frac{(3 x + 8 y) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $3 x + 8 y$ на $1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y \frac{d}{d y} [3 x + 8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $3 x + 8 y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [8 y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $3 x$ является константой относительно $y$ , производная $3 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (0 + \frac{d}{d y} [8 y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Этап 3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y \frac{d}{d y} [8 y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Этап 3.6

Поскольку $8$ является константой относительно $y$ , производная $8 y$ по $y$ равна $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{3 x + 8 y - y (8 \frac{d}{d y} [y])}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Этап 3.7

Умножим $8$ на $- 1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y \frac{d}{d y} [y]}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y \cdot 1}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Этап 3.9

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $- 8$ на $1$ .

$x \frac{3 x + 8 y - 8 y}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Этап 3.9.2

Вычтем $8 y$ из $8 y$ .

$x \frac{3 x + 0}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Этап 3.9.3

Добавим $3 x$ и $0$ .

$x \frac{3 x}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Этап 3.9.4

Объединим $x$ и $\frac{3 x}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$ .

$\frac{x (3 x)}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Этап 4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x^{1} x)}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{3 (x^{1} x^{1})}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{1 + 1}}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 x^{2}}{{(3 x + 8 y)}^{2}}$