Математический анализ Примеры

$x e^{\frac{x}{y}}$

Этап 1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x e^{\frac{x}{y}}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [e^{\frac{x}{y}}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{\frac{x}{y}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = e^{y}$ и $g (y) = \frac{x}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{y}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{y}$ .

$x (e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [\frac{x}{y}])$

Этап 3

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{x}{y}$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x (e^{\frac{x}{y}} (x \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Этап 4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{1 + 1} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $1$ и $1$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (\frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]))$

Этап 7.2

Перепишем $\frac{1}{y}$ в виде $y^{- 1}$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} \frac{d}{d y} [y^{- 1}])$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (- y^{- 2}))$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} (e^{\frac{x}{y}} (- \frac{1}{y^{2}}))$

Этап 9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $e^{\frac{x}{y}}$ и $\frac{1}{y^{2}}$ .

$x^{2} (- \frac{e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}})$

Этап 9.2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{2} e^{\frac{x}{y}}}{y^{2}}$