Математический анализ Примеры

$\frac{x - y}{x + y}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = x - y$ и $g (y) = x + y$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [x - y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x - y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{(x + y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{(x + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$\frac{(x + y) \frac{d}{d y} [- y] - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{(x + y) (- \frac{d}{d y} [y]) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x + y) (- 1 \cdot 1) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x + y) \cdot - 1 - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.6.2

Перенесем $- 1$ влево от $x + y$ .

$\frac{- 1 \cdot (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.6.3

Перепишем $- 1 (x + y)$ в виде $- (x + y)$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [x + y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $x + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.8

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \frac{d}{d y} [y]}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y) \cdot 1}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 2.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- (x + y) - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x - y - (x - y)}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x - y - x - - y}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x - y - x + 1 y}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{- x - y - x + y}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Объединим противоположные члены в $- x - y - x + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $- y$ и $y$ .

$\frac{- x - x + 0}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- x - x$ и $0$ .

$\frac{- x - x}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вычтем $x$ из $- x$ .

$\frac{- 2 x}{{(x + y)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x}{{(x + y)}^{2}}$