Математический анализ Примеры

$(e^{x} + 1) (e^{- x} + 1)$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Развернем $(e^{x} + 1) (e^{- x} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{x} (e^{- x} + 1) + 1 (e^{- x} + 1) d x$

Этап 1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{x} e^{- x} + e^{x} \cdot 1 + 1 (e^{- x} + 1) d x$

Этап 1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int e^{x} e^{- x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Умножим $e^{x}$ на $e^{- x}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int e^{x - x} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 1.2.1.1.2

Вычтем $x$ из $x$ .

$\int e^{0} + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 1.2.1.2

Упростим $e^{0}$ .

$\int 1 + e^{x} \cdot 1 + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 1.2.1.3

Умножим $e^{x}$ на $1$ .

$\int 1 + e^{x} + 1 e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 1.2.1.4

Умножим $e^{- x}$ на $1$ .

$\int 1 + e^{x} + e^{- x} + 1 \cdot 1 d x$

Этап 1.2.1.5

Умножим $1$ на $1$ .

$\int 1 + e^{x} + e^{- x} + 1 d x$

Этап 1.2.2

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 2 + e^{x} + e^{- x} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 d x + \int e^{x} d x + \int e^{- x} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 x + C + \int e^{x} d x + \int e^{- x} d x$

Этап 4

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$2 x + C + e^{x} + C + \int e^{- x} d x$

Этап 5

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 5.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 x + C + e^{x} + C + \int - e^{u} d u$

Этап 6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 x + C + e^{x} + C - \int e^{u} d u$

Этап 7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$2 x + C + e^{x} + C - (e^{u} + C)$

Этап 8

Упростим.

$2 x + e^{x} - e^{u} + C$

Этап 9

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$2 x + e^{x} - e^{- x} + C$