Математический анализ Примеры

${(2 t^{2} - 1)}^{2}$

Этап 1

Развернем ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(2 t^{2} - 1)}^{2}$ в виде $(2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1)$ .

$\int (2 t^{2} - 1) (2 t^{2} - 1) d t$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 t^{2} (2 t^{2} - 1) - 1 (2 t^{2} - 1) d t$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2} - 1) d t$

Этап 1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 2 t^{2} (2 t^{2}) + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1 d t$

Этап 1.5

Перенесем $t^{2}$ .

$\int 2 \cdot 2 t^{2} t^{2} + 2 t^{2} \cdot - 1 - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1 d t$

Этап 1.6

Перенесем $t^{2}$ .

$\int 2 \cdot 2 t^{2} t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} - 1 (2 t^{2}) - 1 \cdot - 1 d t$

Этап 1.7

Умножим $2$ на $2$ .

$\int 4 t^{2} t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} - 1 \cdot 2 t^{2} - 1 \cdot - 1 d t$

Этап 1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 4 t^{2 + 2} + 2 \cdot - 1 t^{2} - 1 \cdot 2 t^{2} - 1 \cdot - 1 d t$

Этап 1.9

Добавим $2$ и $2$ .

$\int 4 t^{4} + 2 \cdot - 1 t^{2} - 1 \cdot 2 t^{2} - 1 \cdot - 1 d t$

Этап 1.10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int 4 t^{4} - 2 t^{2} - 1 \cdot 2 t^{2} - 1 \cdot - 1 d t$

Этап 1.11

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\int 4 t^{4} - 2 t^{2} - 2 t^{2} - 1 \cdot - 1 d t$

Этап 1.12

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 4 t^{4} - 2 t^{2} - 2 t^{2} + 1 d t$

Этап 1.13

Вычтем $2 t^{2}$ из $- 2 t^{2}$ .

$\int 4 t^{4} - 4 t^{2} + 1 d t$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 4 t^{4} d t + \int - 4 t^{2} d t + \int d t$

Этап 3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int t^{4} d t + \int - 4 t^{2} d t + \int d t$

Этап 4

По правилу степени интеграл $t^{4}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{5} t^{5}$ .

$4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) + \int - 4 t^{2} d t + \int d t$

Этап 5

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) - 4 \int t^{2} d t + \int d t$

Этап 6

По правилу степени интеграл $t^{2}$ по $t$ имеет вид $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) - 4 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + \int d t$

Этап 7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$4 (\frac{1}{5} t^{5} + C) - 4 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + t + C$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $t^{5}$ .

$4 (\frac{t^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{1}{3} t^{3} + C) + t + C$

Этап 8.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $t^{3}$ .

$4 (\frac{t^{5}}{5} + C) - 4 (\frac{t^{3}}{3} + C) + t + C$

Этап 8.2

Упростим.

$\frac{4 t^{5}}{5} - \frac{4 t^{3}}{3} + t + C$

Этап 9

Изменим порядок членов.

$\frac{4}{5} t^{5} - \frac{4}{3} t^{3} + t + C$