Математический анализ Примеры

$\frac{(x + 2) (2 x - 5)}{x}$

Этап 1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{x (2 x - 5) + 2 (2 x - 5)}{x} d x$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{x (2 x) + x \cdot - 5 + 2 (2 x - 5)}{x} d x$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{x (2 x) + x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Этап 4

Упростим, используя свойство коммутативности.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок $x$ и $2$ .

$\int \frac{2 \cdot x \cdot x + x \cdot - 5 + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Этап 4.2

Изменим порядок $x$ и $- 5$ .

$\int \frac{2 \cdot x \cdot x - 5 \cdot x + 2 (2 x) + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{2 (x^{1} x) - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Этап 6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{2 (x^{1} x^{1}) - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{2 x^{1 + 1} - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Этап 8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 2 \cdot 2 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Этап 8.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 4 x + 2 \cdot - 5}{x} d x$

Этап 8.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\int \frac{2 x^{2} - 5 x + 4 x - 10}{x} d x$

Этап 9

Добавим $- 5 x$ и $4 x$ .

$\int \frac{2 x^{2} - x - 10}{x} d x$

Этап 10

Разделим $2 x^{2} - x - 10$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$0$

$2 x^{2}$

$x$

$10$

Этап 10.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x$
	$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$

Этап 10.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			+	$2 x^{2}$	+	$0$

Этап 10.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{2} + 0$ .

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$

Этап 10.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$

Этап 10.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$

Этап 10.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$

Этап 10.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$
					-	$x$	+	$0$

Этап 10.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x + 0$ .

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$
					+	$x$	-	$0$

Этап 10.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x$	-	$1$
$x$	+	$0$		$2 x^{2}$	-	$x$	-	$10$
			-	$2 x^{2}$	-	$0$
					-	$x$	-	$10$
					+	$x$	-	$0$
							-	$10$

Этап 10.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 2 x - 1 - \frac{10}{x} d x$

Этап 11

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int 2 x d x + \int - 1 d x + \int - \frac{10}{x} d x$

Этап 12

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int x d x + \int - 1 d x + \int - \frac{10}{x} d x$

Этап 13

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 1 d x + \int - \frac{10}{x} d x$

Этап 14

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - x + C + \int - \frac{10}{x} d x$

Этап 15

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C + \int - \frac{10}{x} d x$

Этап 16

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - \int \frac{10}{x} d x$

Этап 17

Поскольку $10$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - (10 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 18

Умножим $10$ на $- 1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - 10 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 19

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - x + C - 10 (\ln (| x |) + C)$

Этап 20

Упростим.

$x^{2} - x - 10 \ln (| x |) + C$