Математический анализ Примеры

$\frac{7 - 6 x^{3} + 4 x^{6}}{x^{6}}$

Этап 1

Вынесем $x^{6}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (7 - 6 x^{3} + 4 x^{6}) {(x^{6})}^{- 1} d x$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(x^{6})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (7 - 6 x^{3} + 4 x^{6}) x^{6 \cdot - 1} d x$

Этап 2.2

Умножим $6$ на $- 1$ .

$\int (7 - 6 x^{3} + 4 x^{6}) x^{- 6} d x$

Этап 3

Развернем $(7 - 6 x^{3} + 4 x^{6}) x^{- 6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (7 - 6 x^{3}) x^{- 6} + 4 x^{6} x^{- 6} d x$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 7 x^{- 6} - 6 x^{3} x^{- 6} + 4 x^{6} x^{- 6} d x$

Этап 3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 7 x^{- 6} - 6 x^{3 - 6} + 4 x^{6} x^{- 6} d x$

Этап 3.4

Вычтем $6$ из $3$ .

$\int 7 x^{- 6} - 6 x^{- 3} + 4 x^{6} x^{- 6} d x$

Этап 3.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 7 x^{- 6} - 6 x^{- 3} + 4 x^{6 - 6} d x$

Этап 3.6

Вычтем $6$ из $6$ .

$\int 7 x^{- 6} - 6 x^{- 3} + 4 x^{0} d x$

Этап 3.7

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$\int 7 x^{- 6} - 6 x^{- 3} + 4 \cdot 1 d x$

Этап 3.8

Умножим $4$ на $1$ .

$\int 7 x^{- 6} - 6 x^{- 3} + 4 d x$

Этап 3.9

Изменим порядок $7 x^{- 6}$ и $- 6 x^{- 3}$ .

$\int - 6 x^{- 3} + 7 x^{- 6} + 4 d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int - 6 x^{- 3} d x + \int 7 x^{- 6} d x + \int 4 d x$

Этап 5

Поскольку $- 6$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 6$ из-под знака интеграла.

$- 6 \int x^{- 3} d x + \int 7 x^{- 6} d x + \int 4 d x$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$- 6 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 7 x^{- 6} d x + \int 4 d x$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 6 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 7 x^{- 6} d x + \int 4 d x$

Этап 7.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 7 x^{- 6} d x + \int 4 d x$

Этап 8

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

$- 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 \int x^{- 6} d x + \int 4 d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{- 6}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{5} x^{- 5}$ .

$- 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 (- \frac{1}{5} x^{- 5} + C) + \int 4 d x$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Объединим $x^{- 5}$ и $\frac{1}{5}$ .

$- 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 (- \frac{x^{- 5}}{5} + C) + \int 4 d x$

Этап 10.2

Перенесем $x^{- 5}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + \int 4 d x$

Этап 11

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 6 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 7 (- \frac{1}{5 x^{5}} + C) + 4 x + C$

Этап 12

Упростим.

$\frac{3}{x^{2}} - \frac{7}{5 x^{5}} + 4 x + C$