Математический анализ Примеры

$\frac{e^{\frac{1}{z}}}{z^{2}} \cdot (d z)$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $d$ и $\frac{e^{\frac{1}{z}}}{z^{2}}$ .

$\int \frac{d e^{\frac{1}{z}}}{z^{2}} \cdot z d z$

Этап 1.2

Объединим $\frac{d e^{\frac{1}{z}}}{z^{2}}$ и $z$ .

$\int \frac{d e^{\frac{1}{z}} z}{z^{2}} d z$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $z$ и $z^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $z$ из $d e^{\frac{1}{z}} z$ .

$\int \frac{z (d e^{\frac{1}{z}})}{z^{2}} d z$

Этап 1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $z$ из $z^{2}$ .

$\int \frac{z (d e^{\frac{1}{z}})}{z \cdot z} d z$

Этап 1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\int \frac{z (d e^{\frac{1}{z}})}{z \cdot z} d z$

Этап 1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\int \frac{d e^{\frac{1}{z}}}{z} d z$

Этап 2

Поскольку $d$ — константа по отношению к $z$ , вынесем $d$ из-под знака интеграла.

$d \int \frac{e^{\frac{1}{z}}}{z} d z$

Этап 3

Пусть $u = \frac{1}{z}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{z^{2}} d z$ , следовательно $- d u = \frac{1}{z^{2}} d z$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть $u = \frac{1}{z}$ . Найдем $\frac{d u}{d z}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Дифференцируем $\frac{1}{z}$ .

$\frac{d}{d z} [\frac{1}{z}]$

Этап 3.1.2

Перепишем $\frac{1}{z}$ в виде $z^{- 1}$ .

$\frac{d}{d z} [z^{- 1}]$

Этап 3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- z^{- 2}$

Этап 3.1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{z^{2}}$

Этап 3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$d \int \frac{- e^{u}}{{(\frac{1}{u})}^{- 1}} d u$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перенесем ${(\frac{1}{u})}^{- 1}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$d \int - e^{u} \frac{1}{u} d u$

Этап 4.2

Объединим $\frac{1}{u}$ и $e^{u}$ .

$d \int - \frac{e^{u}}{u} d u$

Этап 5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$d (- \int \frac{e^{u}}{u} d u)$

Этап 6

$\int \frac{e^{u}}{u} d u$ — особый интеграл. Интеграл представляет собой экспоненциальную интегральную функцию.

$d (- (E i (u) + C))$

Этап 7

Упростим.

$d (- E i (u)) + C$