Математический анализ Примеры

$(x^{3} + x^{2}) v (\frac{5 x^{4}}{2} + \frac{10 x^{3}}{3})$

Этап 1

Поскольку $v$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $v$ из-под знака интеграла.

$v \int (x^{3} + x^{2}) (\frac{5 x^{4}}{2} + \frac{10 x^{3}}{3}) d x$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$v \int x^{3} (\frac{5 x^{4}}{2} + \frac{10 x^{3}}{3}) + x^{2} (\frac{5 x^{4}}{2} + \frac{10 x^{3}}{3}) d x$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$v \int x^{3} \frac{5 x^{4}}{2} + x^{3} \frac{10 x^{3}}{3} + x^{2} (\frac{5 x^{4}}{2} + \frac{10 x^{3}}{3}) d x$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$v \int x^{3} \frac{5 x^{4}}{2} + x^{3} \frac{10 x^{3}}{3} + x^{2} \frac{5 x^{4}}{2} + x^{2} \frac{10 x^{3}}{3} d x$

Этап 2.4

Объединим $x^{3}$ и $\frac{5 x^{4}}{2}$ .

$v \int \frac{x^{3} (5 x^{4})}{2} + x^{3} \frac{10 x^{3}}{3} + x^{2} \frac{5 x^{4}}{2} + x^{2} \frac{10 x^{3}}{3} d x$

Этап 2.5

Объединим $x^{3}$ и $\frac{10 x^{3}}{3}$ .

$v \int \frac{x^{3} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + x^{2} \frac{5 x^{4}}{2} + x^{2} \frac{10 x^{3}}{3} d x$

Этап 2.6

Объединим $x^{2}$ и $\frac{5 x^{4}}{2}$ .

$v \int \frac{x^{3} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + x^{2} \frac{10 x^{3}}{3} d x$

Этап 2.7

Объединим $x^{2}$ и $\frac{10 x^{3}}{3}$ .

$v \int \frac{x^{3} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $x^{3}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перенесем $x^{4}$ .

$v \int \frac{x^{4} x^{3} \cdot 5}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$v \int \frac{x^{4 + 3} \cdot 5}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.1.3

Добавим $4$ и $3$ .

$v \int \frac{x^{7} \cdot 5}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.2

Перенесем $5$ влево от $x^{7}$ .

$v \int \frac{5 \cdot x^{7}}{2} + \frac{x^{3} (10 x^{3})}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.3

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем $x^{3}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{x^{3} x^{3} \cdot 10}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{x^{3 + 3} \cdot 10}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.3.3

Добавим $3$ и $3$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{x^{6} \cdot 10}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.4

Перенесем $10$ влево от $x^{6}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 \cdot x^{6}}{3} + \frac{x^{2} (5 x^{4})}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перенесем $x^{4}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6}}{3} + \frac{x^{4} x^{2} \cdot 5}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6}}{3} + \frac{x^{4 + 2} \cdot 5}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.5.3

Добавим $4$ и $2$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6}}{3} + \frac{x^{6} \cdot 5}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.6

Перенесем $5$ влево от $x^{6}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6}}{3} + \frac{5 \cdot x^{6}}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.7

Чтобы записать $\frac{10 x^{6}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6}}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x^{6}}{2} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.8

Чтобы записать $\frac{5 x^{6}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6}}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5 x^{6}}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.9

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $6$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Умножим $\frac{10 x^{6}}{3}$ на $\frac{2}{2}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6} \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{5 x^{6}}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.9.2

Умножим $3$ на $2$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6} \cdot 2}{6} + \frac{5 x^{6}}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.9.3

Умножим $\frac{5 x^{6}}{2}$ на $\frac{3}{3}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6} \cdot 2}{6} + \frac{5 x^{6} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.9.4

Умножим $2$ на $3$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6} \cdot 2}{6} + \frac{5 x^{6} \cdot 3}{6} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{10 x^{6} \cdot 2 + 5 x^{6} \cdot 3}{6} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.11

Умножим $2$ на $10$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{20 x^{6} + 5 x^{6} \cdot 3}{6} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.12

Умножим $3$ на $5$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{20 x^{6} + 15 x^{6}}{6} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.13

Добавим $20 x^{6}$ и $15 x^{6}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{35 x^{6}}{6} + \frac{x^{2} (10 x^{3})}{3} d x$

Этап 3.14

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Перенесем $x^{3}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{35 x^{6}}{6} + \frac{x^{3} x^{2} \cdot 10}{3} d x$

Этап 3.14.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{35 x^{6}}{6} + \frac{x^{3 + 2} \cdot 10}{3} d x$

Этап 3.14.3

Добавим $3$ и $2$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{35 x^{6}}{6} + \frac{x^{5} \cdot 10}{3} d x$

Этап 3.15

Перенесем $10$ влево от $x^{5}$ .

$v \int \frac{5 x^{7}}{2} + \frac{35 x^{6}}{6} + \frac{10 x^{5}}{3} d x$

Этап 4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$v (\int \frac{5 x^{7}}{2} d x + \int \frac{35 x^{6}}{6} d x + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

Этап 5

Поскольку $\frac{5}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{5}{2}$ из-под знака интеграла.

$v (\frac{5}{2} \int x^{7} d x + \int \frac{35 x^{6}}{6} d x + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

Этап 6

По правилу степени интеграл $x^{7}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{8} x^{8}$ .

$v (\frac{5}{2} (\frac{1}{8} x^{8} + C) + \int \frac{35 x^{6}}{6} d x + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

Этап 7

Объединим $\frac{1}{8}$ и $x^{8}$ .

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \int \frac{35 x^{6}}{6} d x + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

Этап 8

Поскольку $\frac{35}{6}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{35}{6}$ из-под знака интеграла.

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \frac{35}{6} \int x^{6} d x + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \frac{35}{6} (\frac{1}{7} x^{7} + C) + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{7}$ и $x^{7}$ .

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \frac{35}{6} (\frac{x^{7}}{7} + C) + \int \frac{10 x^{5}}{3} d x)$

Этап 11

Поскольку $\frac{10}{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{10}{3}$ из-под знака интеграла.

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \frac{35}{6} (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{10}{3} \int x^{5} d x)$

Этап 12

По правилу степени интеграл $x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \frac{35}{6} (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{10}{3} (\frac{1}{6} x^{6} + C))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Объединим $\frac{1}{6}$ и $x^{6}$ .

$v (\frac{5}{2} (\frac{x^{8}}{8} + C) + \frac{35}{6} (\frac{x^{7}}{7} + C) + \frac{10}{3} (\frac{x^{6}}{6} + C))$

Этап 13.2

Упростим.

$v (\frac{5 x^{8}}{16} + \frac{5 x^{7}}{6} + \frac{5 x^{6}}{9}) + C$

Этап 13.3

Изменим порядок членов.

$v (\frac{5}{16} x^{8} + \frac{5}{6} x^{7} + \frac{5}{9} x^{6}) + C$