Математический анализ Примеры

$x^{8} e^{x} - 7$

Этап 1

Запишем $x^{8} e^{x} - 7$ в виде функции.

$f (x) = x^{8} e^{x} - 7$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{8} e^{x} - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{8}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$x^{8} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$x^{8} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 2.3

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 0$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7})$ и $0$ .

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7})$

Этап 2.4.2

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{8} + 8 e^{x} x^{7}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{8} + 8 e^{x} x^{7}$ .

$x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [8 x^{7} e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{8} e^{x}) + \frac{d}{d x} (8 x^{7} e^{x})$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

$f'' (x) = x^{8} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{8}) + \frac{d}{d x} (8 x^{7} e^{x})$

Этап 3.2.2

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{8}) + \frac{d}{d x} (8 x^{7} e^{x})$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} (8 x^{7} e^{x})$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x^{7} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x^{7} e^{x}$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x^{7} e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 \frac{d}{d x} (x^{7} e^{x})$

Этап 3.3.2

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 (x^{7} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Этап 3.3.3

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 (x^{7} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{7}))$

Этап 3.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 (x^{7} e^{x} + e^{x} (7 x^{6}))$

Этап 3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 (x^{7} e^{x}) + 8 (e^{x} (7 x^{6}))$

Этап 3.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Умножим $7$ на $8$ .

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 8 x^{7} e^{x} + 56 (e^{x} (x^{6}))$

Этап 3.4.2.2

Добавим $e^{x} (8 x^{7})$ и $8 x^{7} e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Перенесем $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} + 56 e^{x} x^{6}$

Этап 3.4.2.2.2

Добавим $8 x^{7} e^{x}$ и $8 x^{7} e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + 16 x^{7} e^{x} + 56 e^{x} x^{6}$

Этап 3.4.3

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = e^{x} x^{8} + 16 e^{x} x^{7} + 56 e^{x} x^{6}$

Этап 3.4.4

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{8} + 16 e^{x} x^{7} + 56 e^{x} x^{6}$ .

$f'' (x) = x^{8} e^{x} + 16 x^{7} e^{x} + 56 x^{6} e^{x}$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} = 0$

Этап 5

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

По правилу суммы производная $x^{8} e^{x} - 7$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 5.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{8} e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

$x^{8} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 5.1.2.2

$x^{8} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 5.1.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + \frac{d}{d x} [- 7]$

Этап 5.1.3

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7}) + 0$

Этап 5.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Добавим $x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7})$ и $0$ .

$x^{8} e^{x} + e^{x} (8 x^{7})$

Этап 5.1.4.2

Изменим порядок членов.

$e^{x} x^{8} + 8 e^{x} x^{7}$

Этап 5.1.4.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} x^{8} + 8 e^{x} x^{7}$ .

$f' (x) = x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$

Этап 5.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ .

$x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$

Этап 6

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x} = 0$

Этап 6.2

Вынесем множитель $x^{7} e^{x}$ из $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $x^{7} e^{x}$ из $x^{8} e^{x}$ .

$x^{7} e^{x} (x) + 8 x^{7} e^{x} = 0$

Этап 6.2.2

Вынесем множитель $x^{7} e^{x}$ из $8 x^{7} e^{x}$ .

$x^{7} e^{x} (x) + x^{7} e^{x} (8) = 0$

Этап 6.2.3

Вынесем множитель $x^{7} e^{x}$ из $x^{7} e^{x} (x) + x^{7} e^{x} (8)$ .

$x^{7} e^{x} (x + 8) = 0$

Этап 6.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{7} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 8 = 0$

Этап 6.4

Приравняем $x^{7}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Приравняем $x^{7}$ к $0$ .

$x^{7} = 0$

Этап 6.4.2

Решим $x^{7} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[7]{0}$

Этап 6.4.2.2

Упростим $\sqrt[7]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{7}$ .

$x = \sqrt[7]{0^{7}}$

Этап 6.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 6.5

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 6.5.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 6.5.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 6.5.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 6.6

Приравняем $x + 8$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Приравняем $x + 8$ к $0$ .

$x + 8 = 0$

Этап 6.6.2

Вычтем $8$ из обеих частей уравнения.

$x = - 8$

Этап 6.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{7} e^{x} (x + 8) = 0$ верно.

$x = 0, - 8$

Этап 7

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 8

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 8$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

${(0)}^{8} e^{0} + 16 {(0)}^{7} e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 e^{0} + 16 {(0)}^{7} e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

Этап 10.1.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 \cdot 1 + 16 {(0)}^{7} e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

Этап 10.1.3

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 16 {(0)}^{7} e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

Этап 10.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 16 \cdot 0 e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

Этап 10.1.5

Умножим $16$ на $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

Этап 10.1.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

Этап 10.1.7

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 0 + 56 {(0)}^{6} e^{0}$

Этап 10.1.8

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + 0 + 56 \cdot 0 e^{0}$

Этап 10.1.9

Умножим $56$ на $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Этап 10.1.10

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Этап 10.1.11

Умножим $0$ на $1$ .

$0 + 0 + 0$

Этап 10.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + 0$

Этап 10.2.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 11

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, \infty)$

Этап 11.2

Подставим любое число такое, что $- 10$ , из интервала $(- \infty, - 8)$ в первую производную $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 10$ .

$f' (- 10) = {(- 10)}^{8} e^{- 10} + 8 {(- 10)}^{7} e^{- 10}$

Этап 11.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1.1

Возведем $- 10$ в степень $8$ .

$f' (- 10) = 100000000 e^{- 10} + 8 {(- 10)}^{7} e^{- 10}$

Этап 11.2.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 10) = 100000000 (\frac{1}{e^{10}}) + 8 {(- 10)}^{7} e^{- 10}$

Этап 11.2.2.1.3

Объединим $100000000$ и $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} + 8 {(- 10)}^{7} e^{- 10}$

Этап 11.2.2.1.4

Возведем $- 10$ в степень $7$ .

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} + 8 \cdot (- 10000000 e^{- 10})$

Этап 11.2.2.1.5

Умножим $8$ на $- 10000000$ .

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} - 80000000 e^{- 10}$

Этап 11.2.2.1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} - 80000000 \frac{1}{e^{10}}$

Этап 11.2.2.1.7

Объединим $- 80000000$ и $\frac{1}{e^{10}}$ .

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} + \frac{- 80000000}{e^{10}}$

Этап 11.2.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 10) = \frac{100000000}{e^{10}} - \frac{80000000}{e^{10}}$

Этап 11.2.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 10) = \frac{100000000 - 80000000}{e^{10}}$

Этап 11.2.2.2.2

Вычтем $80000000$ из $100000000$ .

$f' (- 10) = \frac{20000000}{e^{10}}$

Этап 11.2.2.3

Окончательный ответ: $\frac{20000000}{e^{10}}$ .

$\frac{20000000}{e^{10}}$

Этап 11.3

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- 8, 0)$ в первую производную $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = {(- 4)}^{8} e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{7} e^{- 4}$

Этап 11.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $8$ .

$f' (- 4) = 65536 e^{- 4} + 8 {(- 4)}^{7} e^{- 4}$

Этап 11.3.2.1.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 4) = 65536 (\frac{1}{e^{4}}) + 8 {(- 4)}^{7} e^{- 4}$

Этап 11.3.2.1.3

Объединим $65536$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} + 8 {(- 4)}^{7} e^{- 4}$

Этап 11.3.2.1.4

Возведем $- 4$ в степень $7$ .

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} + 8 \cdot (- 16384 e^{- 4})$

Этап 11.3.2.1.5

Умножим $8$ на $- 16384$ .

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} - 131072 e^{- 4}$

Этап 11.3.2.1.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} - 131072 \frac{1}{e^{4}}$

Этап 11.3.2.1.7

Объединим $- 131072$ и $\frac{1}{e^{4}}$ .

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} + \frac{- 131072}{e^{4}}$

Этап 11.3.2.1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 4) = \frac{65536}{e^{4}} - \frac{131072}{e^{4}}$

Этап 11.3.2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$f' (- 4) = \frac{65536 - 131072}{e^{4}}$

Этап 11.3.2.2.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.2.2.2.1

Вычтем $131072$ из $65536$ .

$f' (- 4) = \frac{- 65536}{e^{4}}$

Этап 11.3.2.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (- 4) = - \frac{65536}{e^{4}}$

Этап 11.3.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{65536}{e^{4}}$ .

$- \frac{65536}{e^{4}}$

Этап 11.4

Подставим любое число такое, что $2$ , из интервала $(0, \infty)$ в первую производную $x^{8} e^{x} + 8 x^{7} e^{x}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = {(2)}^{8} e^{2} + 8 {(2)}^{7} e^{2}$

Этап 11.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.2.1.1

Возведем $2$ в степень $8$ .

$f' (2) = 256 e^{2} + 8 {(2)}^{7} e^{2}$

Этап 11.4.2.1.2

Возведем $2$ в степень $7$ .

$f' (2) = 256 e^{2} + 8 \cdot (128 e^{2})$

Этап 11.4.2.1.3

Умножим $8$ на $128$ .

$f' (2) = 256 e^{2} + 1024 e^{2}$

Этап 11.4.2.2

Добавим $256 e^{2}$ и $1024 e^{2}$ .

$f' (2) = 1280 e^{2}$

Этап 11.4.2.3

Окончательный ответ: $1280 e^{2}$ .

$1280 e^{2}$

Этап 11.5

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = - 8$ , $x = - 8$ — локальный максимум.

$x = - 8$ — локальный максимум

Этап 11.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный минимум.

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 11.7

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{8} e^{x} - 7$ .

$x = - 8$ — локальный максимум

$x = 0$ — локальный минимум

$x = - 8$ — локальный максимум

$x = 0$ — локальный минимум

Этап 12