Математический анализ Примеры

$\ln (y) \cdot \ln (y)$

Этап 1

Возведем $\ln (y)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d y} [\ln^{1} (y) \cdot \ln (y)]$

Этап 2

Возведем $\ln (y)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d y} [\ln^{1} (y) \cdot \ln^{1} (y)]$

Этап 3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d y} [{\ln (y)}^{1 + 1}]$

Этап 4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d}{d y} [\ln^{2} (y)]$

Этап 5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = y^{2}$ и $g (y) = \ln (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\ln (y)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u$ на $\ln (y)$ .

$2 \ln (y) \frac{d}{d y} [\ln (y)]$

Этап 6

Производная $\ln (y)$ по $y$ равна $\frac{1}{y}$ .

$2 \ln (y) \frac{1}{y}$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $\frac{1}{y}$ и $2$ .

$\frac{2}{y} \ln (y)$

Этап 7.2

Объединим $\frac{2}{y}$ и $\ln (y)$ .

$\frac{2 \ln (y)}{y}$

Этап 8

Упростим $2 \ln (y)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln (y^{2})}{y}$