Математический анализ Примеры

$\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot (6 x^{- \frac{3}{2}})$

Этап 1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot (6 \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot \frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Этап 2.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})$ и $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\ln (5 x^{2} + 10 y^{3}) \cdot 6}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Этап 2.2.2

Перенесем $6$ влево от $\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{6 \cdot \ln (5 x^{2} + 10 y^{3})}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Этап 2.3

Поскольку $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{6 \ln (5 x^{2} + 10 y^{3})}{x^{\frac{3}{2}}}$ по $y$ равна $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})]$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [\ln (5 x^{2} + 10 y^{3})]$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ имеет вид $f' (g (y)) g' (y)$ , где $f (y) = \ln (y)$ и $g (y) = 5 x^{2} + 10 y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $5 x^{2} + 10 y^{3}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

Этап 3.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $5 x^{2} + 10 y^{3}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}} (\frac{1}{5 x^{2} + 10 y^{3}} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{1}{5 x^{2} + 10 y^{3}}$ на $\frac{6}{x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [5 x^{2} + 10 y^{3}]$

Этап 4.2

По правилу суммы производная $5 x^{2} + 10 y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [10 y^{3}]$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d y} [5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [10 y^{3}])$

Этап 4.3

Поскольку $5 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $5 x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d y} [10 y^{3}])$

Этап 4.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [10 y^{3}]$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [10 y^{3}]$

Этап 4.5

Поскольку $10$ является константой относительно $y$ , производная $10 y^{3}$ по $y$ равна $10 \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (10 \frac{d}{d y} [y^{3}])$

Этап 4.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Объединим $10$ и $\frac{6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{10 \cdot 6}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 4.6.2

Умножим $10$ на $6$ .

$\frac{60}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 4.6.3

Вынесем множитель $5$ из $60$ .

$\frac{5 \cdot 12}{(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $5$ из $(5 x^{2} + 10 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{5 \cdot 12}{5 ((x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cdot 12}{5 ((x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} (3 y^{2})$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $3$ и $\frac{12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{3 \cdot 12}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} y^{2}$

Этап 7.2

Умножим $3$ на $12$ .

$\frac{36}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}} y^{2}$

Этап 7.3

Объединим $\frac{36}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$ и $y^{2}$ .

$\frac{36 y^{2}}{(x^{2} + 2 y^{3}) x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{36 y^{2}}{x^{2} x^{\frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{36 y^{2}}{x^{2 + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.2.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 2 + 3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{4 + 3}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.2.5.2

Добавим $4$ и $3$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{7}{2}} + 2 y^{3} x^{\frac{3}{2}}}$

Этап 8.3

Изменим порядок членов.

$\frac{36 y^{2}}{2 x^{\frac{3}{2}} y^{3} + x^{\frac{7}{2}}}$

Этап 8.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Вынесем множитель $x^{\frac{3}{2}}$ из $2 x^{\frac{3}{2}} y^{3} + x^{\frac{7}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Вынесем множитель $x^{\frac{3}{2}}$ из $2 x^{\frac{3}{2}} y^{3}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{7}{2}}}$

Этап 8.4.1.2

Вынесем множитель $x^{\frac{3}{2}}$ из $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{4}{2}}}$

Этап 8.4.1.3

Вынесем множитель $x^{\frac{3}{2}}$ из $x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3}) + x^{\frac{3}{2}} x^{\frac{4}{2}}$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3} + x^{\frac{4}{2}})}$

Этап 8.4.2

Разделим $4$ на $2$ .

$\frac{36 y^{2}}{x^{\frac{3}{2}} (2 y^{3} + x^{2})}$