Математический анализ Примеры

$\ln^{7} (z) + \ln (z^{7})$

Этап 1

По правилу суммы производная $\ln^{7} (z) + \ln (z^{7})$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$ .

$\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d z} [\ln^{7} (z)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ имеет вид $f' (g (z)) g' (z)$ , где $f (z) = z^{7}$ и $g (z) = \ln (z)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (z)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{7}] \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$7 {u_{1}}^{6} \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (z)$ .

$7 \ln^{6} (z) \frac{d}{d z} [\ln (z)] + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Этап 2.2

Производная $\ln (z)$ по $z$ равна $\frac{1}{z}$ .

$7 \ln^{6} (z) \frac{1}{z} + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Этап 2.3

Объединим $\frac{1}{z}$ и $7$ .

$\frac{7}{z} \ln^{6} (z) + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Этап 2.4

Объединим $\frac{7}{z}$ и $\ln^{6} (z)$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d z} [\ln (z^{7})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $z^{7}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d z} [z^{7}]$

Этап 3.1.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d z} [z^{7}]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $z^{7}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{z^{7}} \frac{d}{d z} [z^{7}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 7$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{1}{z^{7}} (7 z^{6})$

Этап 3.3

Объединим $7$ и $\frac{1}{z^{7}}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7}{z^{7}} z^{6}$

Этап 3.4

Объединим $\frac{7}{z^{7}}$ и $z^{6}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7 z^{6}}{z^{7}}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $z^{6}$ и $z^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $z^{6}$ из $7 z^{6}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{7}}$

Этап 3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $z^{6}$ из $z^{7}$ .

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{6} z}$

Этап 3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{z^{6} \cdot 7}{z^{6} z}$

Этап 3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{7 \ln^{6} (z)}{z} + \frac{7}{z}$