Математический анализ Примеры

$f (z) = \frac{z^{2} + 1}{3 z}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $z$ , производная $\frac{z^{2} + 1}{3 z}$ по $z$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d z} [\frac{z^{2} + 1}{z}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [\frac{f (z)}{g (z)}]$ имеет вид $\frac{g (z) \frac{d}{d z} [f (z)] - f (z) \frac{d}{d z} [g (z)]}{{g (z)}^{2}}$ , где $f (z) = z^{2} + 1$ и $g (z) = z$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z \frac{d}{d z} [z^{2} + 1] - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $z^{2} + 1$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z + \frac{d}{d z} [1]) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 3.3

Поскольку $1$ является константой относительно $z$ , производная $1$ относительно $z$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z + 0) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 3.4

Добавим $2 z$ и $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{z (2 z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 4

Возведем $z$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (z^{1} z) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 5

Возведем $z$ в степень $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (z^{1} z^{1}) - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{1 + 1} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1) \frac{d}{d z} [z]}{z^{2}}$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1) \cdot 1}{z^{2}}$

Этап 9

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{z^{2}}$

Этап 9.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{z^{2}}$ .

$\frac{2 z^{2} - (z^{2} + 1)}{3 z^{2}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 z^{2} - z^{2} - 1 \cdot 1}{3 z^{2}}$

Этап 10.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 z^{2} - z^{2} - 1}{3 z^{2}}$

Этап 10.2.2

Вычтем $z^{2}$ из $2 z^{2}$ .

$\frac{z^{2} - 1}{3 z^{2}}$

Этап 10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{z^{2} - 1^{2}}{3 z^{2}}$

Этап 10.3.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = z$ и $b = 1$ .

$\frac{(z + 1) (z - 1)}{3 z^{2}}$