Математический анализ Примеры

$\ln (\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ имеет вид $f' (g (z)) g' (z)$ , где $f (z) = \ln (z)$ и $g (z) = \frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ .

$1 \frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Этап 3

Умножим $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ на $1$ .

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}]$

Этап 4

Поскольку $x^{40} y^{30}$ является константой относительно $z$ , производная $\frac{x^{40} y^{30}}{z^{20}}$ по $z$ равна $x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$ .

$\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}} (x^{40} y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $x^{40}$ и $\frac{z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ .

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} (y^{30} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}])$

Этап 5.2

Объединим $y^{30}$ и $\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}}$ .

$\frac{y^{30} (x^{40} z^{20})}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Этап 5.3

Сократим общий множитель $y^{30}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{30} x^{40} z^{20}}{x^{40} y^{30}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Этап 5.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $x^{40}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{40} z^{20}}{x^{40}} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Этап 5.4.2

Разделим $z^{20}$ на $1$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [\frac{1}{z^{20}}]$

Этап 5.5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $\frac{1}{z^{20}}$ в виде ${(z^{20})}^{- 1}$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [{(z^{20})}^{- 1}]$

Этап 5.5.2

Перемножим экспоненты в ${(z^{20})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{20 \cdot - 1}]$

Этап 5.5.2.2

Умножим $20$ на $- 1$ .

$z^{20} \frac{d}{d z} [z^{- 20}]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = - 20$ .

$z^{20} (- 20 z^{- 21})$

Этап 7

Умножим $z^{20}$ на $z^{- 21}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Перенесем $z^{- 21}$ .

$z^{- 21} z^{20} \cdot - 20$

Этап 7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$z^{- 21 + 20} \cdot - 20$

Этап 7.3

Добавим $- 21$ и $20$ .

$z^{- 1} \cdot - 20$

Этап 8

Перенесем $- 20$ влево от $z^{- 1}$ .

$- 20 \cdot z^{- 1}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 20 \frac{1}{z}$

Этап 9.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Объединим $- 20$ и $\frac{1}{z}$ .

$\frac{- 20}{z}$

Этап 9.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{20}{z}$