Математический анализ Примеры

$f (z) = - \frac{1}{4} z^{8} + \frac{1}{2} z^{4} - 2^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$\frac{d}{d z} [- \frac{1}{4} z^{8} + \frac{1}{2} z^{4} - 1 \cdot 8]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $- \frac{1}{4} z^{8} + \frac{1}{2} z^{4} - 1 \cdot 8$ по $z$ имеет вид $\frac{d}{d z} [- \frac{1}{4} z^{8}] + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$ .

$\frac{d}{d z} [- \frac{1}{4} z^{8}] + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d z} [- \frac{1}{4} z^{8}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- \frac{1}{4}$ является константой относительно $z$ , производная $- \frac{1}{4} z^{8}$ по $z$ равна $- \frac{1}{4} \frac{d}{d z} [z^{8}]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d z} [z^{8}] + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$- \frac{1}{4} (8 z^{7}) + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 2.3

Умножим $8$ на $- 1$ .

$- 8 (\frac{1}{4}) z^{7} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 2.4

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 8}{4} z^{7} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 2.5

Объединим $\frac{- 8}{4}$ и $z^{7}$ .

$\frac{- 8 z^{7}}{4} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $- 8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $4$ из $- 8 z^{7}$ .

$\frac{4 (- 2 z^{7})}{4} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\frac{4 (- 2 z^{7})}{4 (1)} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 (- 2 z^{7})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 z^{7}}{1} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 2.6.2.4

Разделим $- 2 z^{7}$ на $1$ .

$- 2 z^{7} + \frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d z} [\frac{1}{2} z^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $z$ , производная $\frac{1}{2} z^{4}$ по $z$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d z} [z^{4}]$ .

$- 2 z^{7} + \frac{1}{2} \frac{d}{d z} [z^{4}] + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ имеет вид $n z^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- 2 z^{7} + \frac{1}{2} (4 z^{3}) + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 3.3

Объединим $4$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 2 z^{7} + \frac{4}{2} z^{3} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 3.4

Объединим $\frac{4}{2}$ и $z^{3}$ .

$- 2 z^{7} + \frac{4 z^{3}}{2} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $2$ из $4 z^{3}$ .

$- 2 z^{7} + \frac{2 (2 z^{3})}{2} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- 2 z^{7} + \frac{2 (2 z^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$- 2 z^{7} + \frac{2 (2 z^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$- 2 z^{7} + \frac{2 z^{3}}{1} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 3.5.2.4

Разделим $2 z^{3}$ на $1$ .

$- 2 z^{7} + 2 z^{3} + \frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d z} [- 1 \cdot 8]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $- 1$ на $8$ .

$- 2 z^{7} + 2 z^{3} + \frac{d}{d z} [- 8]$

Этап 4.2

Поскольку $- 8$ является константой относительно $z$ , производная $- 8$ относительно $z$ равна $0$ .

$- 2 z^{7} + 2 z^{3} + 0$

Этап 5

Добавим $- 2 z^{7} + 2 z^{3}$ и $0$ .

$- 2 z^{7} + 2 z^{3}$