Математический анализ Примеры

$y = 3 x e^{2 x^{5}}$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x e^{2 x^{5}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x e^{2 x^{5}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x e^{2 x^{5}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{2 x^{5}}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [e^{2 x^{5}}] + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x^{5}$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{5}$ .

$3 (x (e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [2 x^{5}]) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{5}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 (x (e^{2 x^{5}} (2 \frac{d}{d x} [x^{5}])) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$3 (x (e^{2 x^{5}} (2 (5 x^{4}))) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Умножим $5$ на $2$ .

$3 (x (e^{2 x^{5}} (10 x^{4})) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 (x^{4} x^{1} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (x^{4 + 1} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $4$ и $1$ .

$3 (x^{5} (e^{2 x^{5}} \cdot (10)) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.2

Перенесем $10$ влево от $e^{2 x^{5}}$ .

$3 (x^{5} (10 \cdot e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}} \cdot 1)$

Этап 9

Умножим $e^{2 x^{5}}$ на $1$ .

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}}) + e^{2 x^{5}})$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x^{5} (10 e^{2 x^{5}})) + 3 e^{2 x^{5}}$

Этап 10.2

Умножим $10$ на $3$ .

$30 x^{5} e^{2 x^{5}} + 3 e^{2 x^{5}}$

Этап 10.3

Изменим порядок членов.

$30 e^{2 x^{5}} x^{5} + 3 e^{2 x^{5}}$

Этап 10.4

Изменим порядок множителей в $30 e^{2 x^{5}} x^{5} + 3 e^{2 x^{5}}$ .

$30 x^{5} e^{2 x^{5}} + 3 e^{2 x^{5}}$