Математический анализ Примеры

$y = 3 \sin (x) \cot (x)$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \sin (x) \cot (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cot (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cot (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cot (x)$ .

$3 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$3 (\sin (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$3 (\sin (x) (- \csc^{2} (x)) + \cot (x) \cos (x))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (\sin (x) (- \csc^{2} (x))) + 3 (\cot (x) \cos (x))$

Этап 5.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 \sin (x) \csc^{2} (x) + 3 \cot (x) \cos (x)$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$- 3 \csc^{2} (x) \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$- 3 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Этап 5.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$- 3 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Этап 5.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$- 3 \frac{1}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Этап 5.4.4

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{- 3}{\sin^{2} (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Этап 5.4.5

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 3}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Этап 5.4.5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3}{\sin (x) \sin (x)} \sin (x) + 3 \cos (x) \cot (x)$

Этап 5.4.5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3}{\sin (x)} + 3 \cos (x) \cot (x)$

Этап 5.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{3}{\sin (x)} + 3 \cos (x) \cot (x)$

Этап 5.4.7

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$- \frac{3}{\sin (x)} + 3 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 5.4.8

Умножим $3 \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.8.1

Объединим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ и $3$ .

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)} \cos (x)$

Этап 5.4.8.2

Объединим $\frac{\cos (x) \cdot 3}{\sin (x)}$ и $\cos (x)$ .

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{\cos (x) \cdot 3 \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 5.4.8.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{3 (\cos^{1} (x) \cos (x))}{\sin (x)}$

Этап 5.4.8.4

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{3 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{\sin (x)}$

Этап 5.4.8.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{3 {\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Этап 5.4.8.6

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{3}{\sin (x)} + \frac{3 \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 5.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 + 3 \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 5.6

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3$ .

$\frac{- 3 (1) + 3 \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 5.7

Вынесем множитель $- 3$ из $3 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 3 (1) - 3 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Этап 5.8

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (1) - 3 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 3 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Этап 5.9

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- 3 \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 5.10

Сократим общий множитель $\sin^{2} (x)$ и $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- 3 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- 3 \sin (x))}{\sin (x)}$

Этап 5.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sin (x) (- 3 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Этап 5.10.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) (- 3 \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Этап 5.10.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 3 \sin (x)}{1}$

Этап 5.10.2.4

Разделим $- 3 \sin (x)$ на $1$ .

$- 3 \sin (x)$