Математический анализ Примеры

$y = 4 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $4 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 e^{x}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$4 e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{4}{\sqrt[3]{x}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 e^{x} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Этап 3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{x^{\frac{1}{3}}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$4 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$

Этап 3.3

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$4 e^{x} + 4 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 e^{x} + 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$4 e^{x} + 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Этап 3.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{3}}$ .

$4 e^{x} + 4 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$4 e^{x} + 4 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Этап 3.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 e^{x} + 4 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Этап 3.6.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $- 2$ .

$4 e^{x} + 4 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Этап 3.6.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Этап 3.7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$4 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Этап 3.8

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$4 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 3.9

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$4 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Этап 3.10.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$4 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Этап 3.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Этап 3.12

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$4 e^{x} + 4 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Этап 3.13

Объединим $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$4 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Этап 3.14

Умножим $x^{- \frac{2}{3}}$ на $x^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.14.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Этап 3.14.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$4 e^{x} + 4 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Этап 3.14.3

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$4 e^{x} + 4 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Этап 3.14.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 e^{x} + 4 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Этап 3.15

Перенесем $x^{- \frac{4}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 e^{x} + 4 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Этап 3.16

Умножим $- 1$ на $4$ .

$4 e^{x} - 4 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.17

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$4 e^{x} + \frac{- 4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Этап 3.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 e^{x} - \frac{4}{3 x^{\frac{4}{3}}}$