Математический анализ Примеры

$y = 4 \arctan (3 x^{4})$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \arctan (3 x^{4})$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\arctan (3 x^{4})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = 3 x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x^{4}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Этап 2.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$4 (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{1 + {(3 x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{1 + {(3 (x^{4}))}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Этап 3.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Применим правило умножения к $3 (x^{4})$ .

$4 (\frac{1}{1 + 3^{2} {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Этап 3.2.1.2

Возведем $3$ в степень $2$ .

$4 (\frac{1}{1 + 9 {(x^{4})}^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Этап 3.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (\frac{1}{1 + 9 x^{4 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Этап 3.2.1.3.2

Умножим $4$ на $2$ .

$4 (\frac{1}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}])$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{1}{1 + 9 x^{8}}$ и $4$ .

$\frac{4}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

Этап 3.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{4}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{4}{1 + 9 x^{8}} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3.4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $3$ и $\frac{4}{1 + 9 x^{8}}$ .

$\frac{3 \cdot 4}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3.4.2

Умножим $3$ на $4$ .

$\frac{12}{1 + 9 x^{8}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{12}{1 + 9 x^{8}} (4 x^{3})$

Этап 3.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Объединим $4$ и $\frac{12}{1 + 9 x^{8}}$ .

$\frac{4 \cdot 12}{1 + 9 x^{8}} x^{3}$

Этап 3.6.2

Умножим $4$ на $12$ .

$\frac{48}{1 + 9 x^{8}} x^{3}$

Этап 3.6.3

Объединим $\frac{48}{1 + 9 x^{8}}$ и $x^{3}$ .

$\frac{48 x^{3}}{1 + 9 x^{8}}$

Этап 3.6.4

Изменим порядок членов.

$\frac{48 x^{3}}{9 x^{8} + 1}$