Математический анализ Примеры

$y = 4 \ln (x^{2} e^{x})$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \ln (x^{2} e^{x})$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} e^{x})]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} e^{x})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{2} e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} e^{x}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$4 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} e^{x}$ .

$4 (\frac{1}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])$

Этап 3

Объединим $\frac{1}{x^{2} e^{x}}$ и $4$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4}{x^{2} e^{x}} (x^{2} e^{x}) + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Этап 7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{4}{x^{2} e^{x}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} e^{x}} e^{x} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Этап 7.2.2

Объединим $\frac{x^{2} \cdot 4}{x^{2} e^{x}}$ и $e^{x}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 4 e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Этап 7.2.3

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{4 \cdot x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Этап 7.2.4

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x^{2} e^{x}}{x^{2} e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Этап 7.2.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 e^{x}}{e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Этап 7.2.5

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 e^{x}}{e^{x}} + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Этап 7.2.5.2

Разделим $4$ на $1$ .

$4 + \frac{4}{x^{2} e^{x}} (e^{x} (2 x))$

Этап 7.2.6

Объединим $e^{x}$ и $\frac{4}{x^{2} e^{x}}$ .

$4 + \frac{e^{x} \cdot 4}{x^{2} e^{x}} (2 x)$

Этап 7.2.7

Объединим $2$ и $\frac{e^{x} \cdot 4}{x^{2} e^{x}}$ .

$4 + \frac{2 (e^{x} \cdot 4)}{x^{2} e^{x}} x$

Этап 7.2.8

Умножим $4$ на $2$ .

$4 + \frac{8 e^{x}}{x^{2} e^{x}} x$

Этап 7.2.9

Объединим $\frac{8 e^{x}}{x^{2} e^{x}}$ и $x$ .

$4 + \frac{8 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Этап 7.2.10

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.10.1

Сократим общий множитель.

$4 + \frac{8 e^{x} x}{x^{2} e^{x}}$

Этап 7.2.10.2

Перепишем это выражение.

$4 + \frac{8 x}{x^{2}}$

Этап 7.2.11

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.11.1

Вынесем множитель $x$ из $8 x$ .

$4 + \frac{x \cdot 8}{x^{2}}$

Этап 7.2.11.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.11.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$4 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x}$

Этап 7.2.11.2.2

Сократим общий множитель.

$4 + \frac{x \cdot 8}{x \cdot x}$

Этап 7.2.11.2.3

Перепишем это выражение.

$4 + \frac{8}{x}$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$\frac{8}{x} + 4$