Математический анализ Примеры

$y = 4 x^{3} \cos (x) \sin (x)$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3} \cos (x) \sin (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x) \sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x) \sin (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3} \cos (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$4 (x^{3} \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)])$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$4 (x^{3} \cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)])$

Этап 4

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$4 (x^{3} (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)])$

Этап 5

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$4 (x^{3} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)])$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (x^{3} {\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)])$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$4 (x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{3} \cos (x)])$

Этап 8

$4 (x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]))$

Этап 9

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$4 (x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{3}]))$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} (- \sin (x)) + \cos (x) (3 x^{2})))$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x^{3} \cos^{2} (x) + \sin (x) (x^{3} (- \sin (x))) + \sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x^{3} \cos^{2} (x)) + 4 (\sin (x) (x^{3} (- \sin (x)))) + 4 (\sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

Этап 11.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$4 x^{3} \cos^{2} (x) + 4 (x^{3} (- (\sin^{1} (x) \sin (x)))) + 4 (\sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

Этап 11.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$4 x^{3} \cos^{2} (x) + 4 (x^{3} (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)))) + 4 (\sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

Этап 11.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{3} \cos^{2} (x) + 4 (x^{3} (- {\sin (x)}^{1 + 1})) + 4 (\sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

Этап 11.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$4 x^{3} \cos^{2} (x) + 4 (x^{3} (- \sin^{2} (x))) + 4 (\sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

Этап 11.3.5

Умножим $- 1$ на $4$ .

$4 x^{3} \cos^{2} (x) - 4 (x^{3} (\sin^{2} (x))) + 4 (\sin (x) (\cos (x) (3 x^{2})))$

Этап 11.3.6

Умножим $3$ на $4$ .

$4 x^{3} \cos^{2} (x) - 4 x^{3} \sin^{2} (x) + 12 \sin (x) \cos (x) x^{2}$

Этап 11.4

Изменим порядок членов.

$4 x^{3} \cos^{2} (x) - 4 x^{3} \sin^{2} (x) + 12 x^{2} \cos (x) \sin (x)$