Математический анализ Примеры

$y = 5 (\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 (\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))]$ .

$5 \frac{d}{d x} [(\tan (x) + \sec (x)) (\tan (x) - \sec (x))]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \tan (x) + \sec (x)$ и $g (x) = \tan (x) - \sec (x)$ .

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) - \sec (x)] + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

Этап 3

По правилу суммы производная $\tan (x) - \sec (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]$ .

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

Этап 4

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- \sec (x)]) + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

Этап 5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sec (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

Этап 6

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - (\sec (x) \tan (x))) + (\tan (x) - \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x) + \sec (x)])$

Этап 7

По правилу суммы производная $\tan (x) + \sec (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) - \sec (x)) (\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Этап 8

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) - \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [\sec (x)]))$

Этап 9

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) + (\tan (x) - \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 ((\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x))) + 5 ((\tan (x) - \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)))$

Этап 10.2

Избавимся от скобок.

$5 (\tan (x) + \sec (x)) (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) + 5 (\tan (x) - \sec (x)) (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x))$

Этап 10.3

Изменим порядок членов.

$5 (\sec^{2} (x) - \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(5 \sec^{2} (x) + 5 (- \sec (x) \tan (x))) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$(5 \sec^{2} (x) - 5 (\sec (x) \tan (x))) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.3

Развернем $(5 \sec^{2} (x) - 5 \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) + \sec (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \sec^{2} (x) (\tan (x) + \sec (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec (x) \tan (x) (\tan (x) + \sec (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) \sec (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.1.1

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.1.1.1

Перенесем $\sec (x)$ .

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec (x) \sec^{2} (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.4.1.1.2

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.1.1.2.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.4.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 {\sec (x)}^{1 + 2} - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.4.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.4.1.2

Умножим $- 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.1.2.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.4.1.2.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.4.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.4.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.4.1.3

Умножим $- 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.4.1.3.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.4.1.3.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.4.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.4.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.4.2

Вычтем $5 \sec^{2} (x) \tan (x)$ из $5 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$0 + 5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.4.3

Добавим $0$ и $5 \sec^{3} (x)$ .

$5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.5

Вынесем множитель $5 \sec (x)$ из $5 \sec^{3} (x) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.5.1

Вынесем множитель $5 \sec (x)$ из $5 \sec^{3} (x)$ .

$5 \sec (x) (\sec^{2} (x)) - 5 \sec (x) \tan^{2} (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.5.2

Вынесем множитель $5 \sec (x)$ из $- 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$5 \sec (x) (\sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) (- \tan^{2} (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.5.3

Вынесем множитель $5 \sec (x)$ из $5 \sec (x) (\sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$5 \sec (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.6

Применим формулу Пифагора.

$5 \sec (x) \cdot 1 + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.7

Умножим $5$ на $1$ .

$5 \sec (x) + 5 (\sec^{2} (x) + \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.8

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \sec (x) + (5 \sec^{2} (x) + 5 (\sec (x) \tan (x))) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.9

Развернем $(5 \sec^{2} (x) + 5 \sec (x) \tan (x)) (\tan (x) - \sec (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) (\tan (x) - \sec (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) (- \sec (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) (\tan (x) - \sec (x))$

Этап 10.4.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{2} (x) (- \sec (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Этап 10.4.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.10.1.1

Умножим $\sec^{2} (x)$ на $\sec (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.10.1.1.1

Перенесем $\sec (x)$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec (x) \sec^{2} (x)) \cdot - 1 + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Этап 10.4.10.1.1.2

Умножим $\sec (x)$ на $\sec^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.10.1.1.2.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 (\sec^{1} (x) \sec^{2} (x)) \cdot - 1 + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Этап 10.4.10.1.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 {\sec (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Этап 10.4.10.1.1.3

Добавим $1$ и $2$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) + 5 \sec^{3} (x) \cdot - 1 + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Этап 10.4.10.1.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan (x) \tan (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Этап 10.4.10.1.3

Умножим $5 \sec (x) \tan (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.10.1.3.1

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Этап 10.4.10.1.3.2

Возведем $\tan (x)$ в степень $1$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Этап 10.4.10.1.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) {\tan (x)}^{1 + 1} + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Этап 10.4.10.1.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) + 5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$

Этап 10.4.10.1.4

Умножим $5 \sec (x) \tan (x) (- \sec (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.10.1.4.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec (x) \tan (x) \sec (x)$

Этап 10.4.10.1.4.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)$

Этап 10.4.10.1.4.3

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)$

Этап 10.4.10.1.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)$

Этап 10.4.10.1.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec^{2} (x) \tan (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x) - 5 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Этап 10.4.10.2

Вычтем $5 \sec^{2} (x) \tan (x)$ из $5 \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$5 \sec (x) + 0 - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$

Этап 10.4.10.3

Вычтем $5 \sec^{3} (x)$ из $0$ .

$5 \sec (x) - 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$

Этап 10.4.11

Вынесем множитель $5 \sec (x)$ из $- 5 \sec^{3} (x) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.11.1

Вынесем множитель $5 \sec (x)$ из $- 5 \sec^{3} (x)$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) \tan^{2} (x)$

Этап 10.4.11.2

Вынесем множитель $5 \sec (x)$ из $5 \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) (\tan^{2} (x))$

Этап 10.4.11.3

Вынесем множитель $5 \sec (x)$ из $5 \sec (x) (- \sec^{2} (x)) + 5 \sec (x) (\tan^{2} (x))$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x))$

Этап 10.4.12

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sec^{2} (x)$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))$

Этап 10.4.13

Вынесем множитель $- 1$ из $\tan^{2} (x)$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)))$

Этап 10.4.14

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)))$

Этап 10.4.15

Применим формулу Пифагора.

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) (- 1 \cdot 1)$

Этап 10.4.16

Умножим $- 1$ на $1$ .

$5 \sec (x) + 5 \sec (x) \cdot - 1$

Этап 10.4.17

Умножим $- 1$ на $5$ .

$5 \sec (x) - 5 \sec (x)$

Этап 10.5

Вычтем $5 \sec (x)$ из $5 \sec (x)$ .

$0$