Математический анализ Примеры

$y = 4 \sin (x) \tan (x)$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \sin (x) \tan (x)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x) \tan (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \tan (x)$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3

Производная $\tan (x)$ по $x$ равна $\sec^{2} (x)$ .

$4 (\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$4 (\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (\sin (x) \sec^{2} (x)) + 4 (\tan (x) \cos (x))$

Этап 5.2

Избавимся от скобок.

$4 \sin (x) \sec^{2} (x) + 4 \tan (x) \cos (x)$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$4 \sec^{2} (x) \sin (x) + 4 \cos (x) \tan (x)$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + 4 \cos (x) \tan (x)$

Этап 5.4.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 \cos (x) \tan (x)$

Этап 5.4.3

Единица в любой степени равна единице.

$4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 \cos (x) \tan (x)$

Этап 5.4.4

Объединим $4$ и $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{4}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + 4 \cos (x) \tan (x)$

Этап 5.4.5

Объединим $\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 \cos (x) \tan (x)$

Этап 5.4.6

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.6.1

Добавим круглые скобки.

$\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 (\cos (x) \tan (x))$

Этап 5.4.6.2

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\tan (x)$ .

$\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 (\tan (x) \cos (x))$

Этап 5.4.6.3

Выразим $4 \cos (x) \tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x))$

Этап 5.4.6.4

Сократим общие множители.

$\frac{4 \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 4 \sin (x)$

Этап 5.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{4 \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 4 \sin (x)$

Этап 5.5.2

Разделим дроби.

$\frac{4}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 4 \sin (x)$

Этап 5.5.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{4}{\cos (x)} \tan (x) + 4 \sin (x)$

Этап 5.5.4

Разделим дроби.

$\frac{4}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + 4 \sin (x)$

Этап 5.5.5

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{4}{1} \sec (x) \tan (x) + 4 \sin (x)$

Этап 5.5.6

Разделим $4$ на $1$ .

$4 \sec (x) \tan (x) + 4 \sin (x)$