Математический анализ Примеры

$y = 5 \cos (x) \sec (x^{2})$

Этап 1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \cos (x) \sec (x^{2})$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sec (x^{2})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sec (x^{2})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \sec (x^{2})$ .

$5 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sec (x^{2})] + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$5 (\cos (x) (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.2

Производная $\sec (u)$ по $u$ равна $\sec (u) \tan (u)$ .

$5 (\cos (x) (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$5 (\cos (x) (\sec (x^{2}) \tan (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x) + \sec (x^{2}) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 5

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x) + \sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (2 x)) + 5 (\sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

Этап 6.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $2$ на $5$ .

$10 (\cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) (x)) + 5 (\sec (x^{2}) (- \sin (x)))$

Этап 6.2.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$10 \cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) x - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$10 x \cos (x) \sec (x^{2}) \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Этап 6.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Выразим $\sec (x^{2})$ через синусы и косинусы.

$10 x \cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Этап 6.4.2

Умножим $10 x \cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Объединим $10$ и $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

$x \cos (x) \frac{10}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Этап 6.4.2.2

Объединим $\frac{10}{\cos (x^{2})}$ и $x$ .

$\frac{10 x}{\cos (x^{2})} \cos (x) \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Этап 6.4.2.3

Объединим $\frac{10 x}{\cos (x^{2})}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{10 x \cos (x)}{\cos (x^{2})} \tan (x^{2}) - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Этап 6.4.3

Выразим $\tan (x^{2})$ через синусы и косинусы.

$\frac{10 x \cos (x)}{\cos (x^{2})} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Этап 6.4.4

Объединим.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos (x^{2}) \cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Этап 6.4.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.5.1

Возведем $\cos (x^{2})$ в степень $1$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{1} (x^{2}) \cos (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Этап 6.4.5.2

Возведем $\cos (x^{2})$ в степень $1$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{1} (x^{2}) \cos^{1} (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Этап 6.4.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{{\cos (x^{2})}^{1 + 1}} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Этап 6.4.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - 5 \sec (x^{2}) \sin (x)$

Этап 6.4.6

Выразим $\sec (x^{2})$ через синусы и косинусы.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - 5 \frac{1}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

Этап 6.4.7

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} + \frac{- 5}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

Этап 6.4.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{5}{\cos (x^{2})} \sin (x)$

Этап 6.4.9

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{5}{\cos (x^{2})}$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{\sin (x) \cdot 5}{\cos (x^{2})}$

Этап 6.4.10

Перенесем $5$ влево от $\sin (x)$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos^{2} (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Этап 6.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $\cos (x^{2})$ из $\cos^{2} (x^{2})$ .

$\frac{10 x \cos (x) \sin (x^{2})}{\cos (x^{2}) \cos (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Этап 6.5.2

Разделим дроби.

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x^{2})} - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Этап 6.5.3

Перепишем $\frac{\cos (x)}{\cos (x^{2})}$ в виде произведения.

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Этап 6.5.4

Запишем $\cos (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Этап 6.5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.5.1

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Этап 6.5.5.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ в $\sec (x^{2})$ .

$\frac{10 x \sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Этап 6.5.6

Разделим дроби.

$\frac{10 x}{1} \cdot \frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})} (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Этап 6.5.7

Переведем $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ в $\tan (x^{2})$ .

$\frac{10 x}{1} \tan (x^{2}) (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Этап 6.5.8

Разделим $10 x$ на $1$ .

$10 x \tan (x^{2}) (\cos (x) \sec (x^{2})) - \frac{5 \sin (x)}{\cos (x^{2})}$

Этап 6.5.9

Разделим дроби.

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x^{2})})$

Этап 6.5.10

Перепишем $\frac{\sin (x)}{\cos (x^{2})}$ в виде произведения.

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

Этап 6.5.11

Запишем $\sin (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

Этап 6.5.12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.12.1

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \frac{1}{\cos (x^{2})}))$

Этап 6.5.12.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x^{2})}$ в $\sec (x^{2})$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (\frac{5}{1} (\sin (x) \sec (x^{2})))$

Этап 6.5.13

Разделим $5$ на $1$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - (5 (\sin (x) \sec (x^{2})))$

Этап 6.5.14

Умножим $5$ на $- 1$ .

$10 x \tan (x^{2}) \cos (x) \sec (x^{2}) - 5 \sin (x) \sec (x^{2})$