Математический анализ Примеры

$y = 5 x e^{5 x} - e^{5 x}$

Этап 1

По правилу суммы производная $5 x e^{5 x} - e^{5 x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x e^{5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x e^{5 x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x e^{5 x}] + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = e^{5 x}$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $5 x$ .

$5 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$5 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $5 x$ .

$5 (x (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Этап 2.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (x (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Этап 2.7

Умножим $5$ на $1$ .

$5 (x (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Этап 2.8

Перенесем $5$ влево от $e^{5 x}$ .

$5 (x (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Этап 2.9

Умножим $e^{5 x}$ на $1$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) + \frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{5 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{5 x}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 3.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} (5 \cdot 1))$

Этап 3.5

Умножим $5$ на $1$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (e^{5 x} \cdot 5)$

Этап 3.6

Перенесем $5$ влево от $e^{5 x}$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - (5 \cdot e^{5 x})$

Этап 3.7

Умножим $5$ на $- 1$ .

$5 (x (5 e^{5 x}) + e^{5 x}) - 5 e^{5 x}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (x (5 e^{5 x})) + 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $5$ на $5$ .

$25 (x (e^{5 x})) + 5 e^{5 x} - 5 e^{5 x}$

Этап 4.2.2

Вычтем $5 e^{5 x}$ из $5 e^{5 x}$ .

$25 x e^{5 x} + 0$

Этап 4.2.3

Добавим $25 x e^{5 x}$ и $0$ .

$25 x e^{5 x}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $25 x e^{5 x}$ .

$25 e^{5 x} x$

Этап 4.4

Изменим порядок множителей в $25 e^{5 x} x$ .

$25 x e^{5 x}$