Математический анализ Примеры

$y = 5 x^{2} - 5 \sqrt{x} - \frac{3}{x}$

Этап 1

По правилу суммы производная $5 x^{2} - 5 \sqrt{x} - \frac{3}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [- 5 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Этап 3.2

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$10 x - 5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Этап 3.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Этап 3.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Этап 3.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Этап 3.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Этап 3.7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$10 x - 5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$10 x - 5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Этап 3.10

Объединим $- 5$ и $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$10 x + \frac{- 5 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Этап 3.11

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 x + \frac{- 5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Этап 3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{x}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 4.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 3 (- x^{- 2})$

Этап 4.4

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 x^{- 2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 3 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 5.2

Объединим $3$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$10 x - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{x^{2}}$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$10 x + \frac{3}{x^{2}} - \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$