Математический анализ Примеры

$y = 2 x \log (\sqrt{x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \log (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \log (x^{\frac{1}{2}})$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \log (x^{\frac{1}{2}})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \log (x^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \log (x^{\frac{1}{2}})$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\log (x^{\frac{1}{2}})] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log (x)$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Производная $\log (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \ln (10)}$ .

$2 (x (\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)}$ и $x$ .

$2 (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 (\frac{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (\frac{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (\frac{x^{1 - \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$2 (\frac{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{x^{\frac{2 - 1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 10.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 13

Умножим $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\ln (10)}$ на $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 14

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 (\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 14.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 14.3

Вычтем $1$ из $1$ .

$2 (\frac{x^{\frac{0}{2}}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 14.4

Разделим $0$ на $2$ .

$2 (\frac{x^{0}}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Упростим $x^{0}$ .

$2 (\frac{1}{\ln (10) \cdot 2} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 15.2

Перенесем $2$ влево от $\ln (10)$ .

$2 (\frac{1}{2 \cdot \ln (10)} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 16

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (\frac{1}{2 \ln (10)} + \log (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1)$

Этап 17

Умножим $\log (x^{\frac{1}{2}})$ на $1$ .

$2 (\frac{1}{2 \ln (10)} + \log (x^{\frac{1}{2}}))$

Этап 18

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \frac{1}{2 \ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 18.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 \ln (10)}$ .

$\frac{2}{2 \ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 18.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 18.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2 \ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 18.2.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\ln (10)} + 2 \log (x^{\frac{1}{2}})$

Этап 18.3

Изменим порядок членов.

$2 \log (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{\ln (10)}$