Математический анализ Примеры

$y = 2 x \ln (x) + x$

Этап 1

По правилу суммы производная $2 x \ln (x) + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \ln (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.5

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.6.2

Перепишем это выражение.

$2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.7

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (1 + \ln (x)) + 1$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + 2 \ln (x) + 1$

Этап 4.2.2

Добавим $2$ и $1$ .

$2 \ln (x) + 3$