Математический анализ Примеры

$y = 2 x \sin (x) + x^{2} \cos (x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $2 x \sin (x) + x^{2} \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \sin (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Этап 2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Этап 2.5

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$2 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

$2 (x \cos (x) + \sin (x)) + x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 (x \cos (x) + \sin (x)) + x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (x \cos (x) + \sin (x)) + x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x) + x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)$

Этап 4.2

Добавим $2 x \cos (x)$ и $\cos (x) (2 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перенесем $\cos (x)$ .

$2 x \cos (x) + 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x^{2} (- \sin (x))$

Этап 4.2.2

Добавим $2 x \cos (x)$ и $2 x \cos (x)$ .

$4 x \cos (x) + 2 \sin (x) + x^{2} (- \sin (x))$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$4 x \cos (x) - x^{2} \sin (x) + 2 \sin (x)$