Математический анализ Примеры

$y = 2 \sin (\frac{x}{2}) + 8 \cos (\frac{x}{2})$

Этап 1

По правилу суммы производная $2 \sin (\frac{x}{2}) + 8 \cos (\frac{x}{2})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sin (\frac{x}{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (\frac{x}{2})$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{x}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$2 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{x}{2}$ .

$2 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Этап 2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (\cos (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Этап 2.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$2 (\cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Этап 2.6

Объединим $\cos (\frac{x}{2})$ и $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{\cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Этап 2.7

Объединим $2$ и $\frac{\cos (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Этап 2.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Этап 2.8.2

Разделим $\cos (\frac{x}{2})$ на $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 \cos (\frac{x}{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \cos (\frac{x}{2})$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x}{2})]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 3.2.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\frac{x}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

Этап 3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1))$

Этап 3.5

Умножим $\frac{1}{2}$ на $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \sin (\frac{x}{2}) \frac{1}{2})$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + 8 (- \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2})$

Этап 3.7

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\cos (\frac{x}{2}) - 8 \frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$

Этап 3.8

Объединим $- 8$ и $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{- 8 \sin (\frac{x}{2})}{2}$

Этап 3.9

Сократим общий множитель $- 8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Вынесем множитель $2$ из $- 8 \sin (\frac{x}{2})$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{2 (- 4 \sin (\frac{x}{2}))}{2}$

Этап 3.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{2 (- 4 \sin (\frac{x}{2}))}{2 (1)}$

Этап 3.9.2.2

Сократим общий множитель.

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{2 (- 4 \sin (\frac{x}{2}))}{2 \cdot 1}$

Этап 3.9.2.3

Перепишем это выражение.

$\cos (\frac{x}{2}) + \frac{- 4 \sin (\frac{x}{2})}{1}$

Этап 3.9.2.4

Разделим $- 4 \sin (\frac{x}{2})$ на $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) - 4 \sin (\frac{x}{2})$