Математический анализ Примеры

$y = 2 x \arccos (x) - 2 \sqrt{1 - x^{2}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $2 x \arccos (x) - 2 \sqrt{1 - x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x \arccos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{1 - x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x \arccos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{1 - x^{2}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x \arccos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x \arccos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x \arccos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x \arccos (x)] + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{1 - x^{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \arccos (x)$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [\arccos (x)] + \arccos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{1 - x^{2}}]$

Этап 2.3

Производная $\arccos (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$2 (x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) + \arccos (x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{1 - x^{2}}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 (x (- \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}) + \arccos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{1 - x^{2}}]$

Этап 2.5

Объединим $x$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{1 - x^{2}}]$

Этап 2.6

Умножим $\arccos (x)$ на $1$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{1 - x^{2}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \sqrt{1 - x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{1 - x^{2}}$ в виде ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) + \frac{d}{d x} [- 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.2

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x^{2}$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{2}$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))$

Этап 3.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))$

Этап 3.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Этап 3.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Этап 3.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Этап 3.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))$

Этап 3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))$

Этап 3.13

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))$

Этап 3.14

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))$

Этап 3.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))$

Этап 3.16

Объединим $- 2$ и $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

Этап 3.17

Объединим $\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ и $x$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Этап 3.18

Перенесем ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.19

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.20

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.20.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 3.20.2

Сократим общий множитель.

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.20.3

Перепишем это выражение.

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.21

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) - 2 (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Этап 3.22

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) + 2 \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.23

Объединим $2$ и $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arccos (x)) + \frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}) + 2 \arccos (x) + \frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 \arccos (x) + \frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{- 2 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 \arccos (x) + \frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 \arccos (x) + \frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.4.2

Умножим $\frac{2 x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - (\frac{2 x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}) + 2 \arccos (x)$

Этап 4.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.1

Умножим $\frac{2 x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ на $\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.4.3.2

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень $1$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.4.3.3

Возведем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень $1$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.4.3.6

Перепишем ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ в виде $(1 + x) (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в виде ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.4.3.6.5

Упростим.

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.5

Чтобы записать $\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.6

Чтобы записать $- \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.7

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $\frac{2 x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ на $\frac{(1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$ .

$\frac{2 x ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} ((1 + x) (1 - x))} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)} \cdot \frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.7.2

Умножим $\frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$ на $\frac{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} ((1 + x) (1 - x))} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.7.3

Изменим порядок множителей в ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} ((1 + x) (1 - x))$ .

$\frac{2 x ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.7.4

Изменим порядок множителей в $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x ((1 + x) (1 - x))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} - \frac{2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x ((1 + x) (1 - x)) - 2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x ((1 + x) (1 - x)) - 2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $- 2 x \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x ((1 + x) (1 - x)) + 2 x (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.9.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x ((1 + x) (1 - x)) + 2 x (- \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 x ((1 + x) (1 - x) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.9.2

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (1 (1 - x) + x (1 - x) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.9.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.9.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x (1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.9.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2 x (1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.9.3.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$\frac{2 x (1 - x + x \cdot 1 + x (- x) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.9.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2 x (1 - x + x + x (- x) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.9.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x (1 - x + x - x \cdot x - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.9.3.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.3.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 x (1 - x + x - (x \cdot x) - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.9.3.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x (1 - x + x - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.9.3.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{2 x (1 + 0 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.9.3.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x)$

Этап 4.10

Чтобы записать $2 \arccos (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + 2 \arccos (x) \cdot \frac{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.11

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.11.1

Объединим $2 \arccos (x)$ и $\frac{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)} + \frac{2 \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 4.11.2

Изменим порядок множителей в $(1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Этап 4.12

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + 2 \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + 2 \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})) + 2 \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.1.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})) + 2 (\arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})) + 2 (\arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$ .

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - \sqrt{(1 + x) (1 - x)} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в виде ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.3.1

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 (1 - x) + x (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.3.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.2.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x + x \cdot 1 + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.2.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x + x + x (- x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.2.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x + x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.2.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.3.2.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x + x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.2.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x + x - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.2.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 + 0 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.3

Умножим ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ на ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.3.3.1

Перенесем ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.3.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - {(1 - x^{2})}^{1}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.4

Упростим $- {(1 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - (1 - x^{2})) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - 1 \cdot 1 - - x^{2}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - 1 - - x^{2}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.7

Умножим $- - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.3.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - 1 + 1 x^{2}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.3.7.2

Умножим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{2 (x (1 - x^{2} - 1 + x^{2}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.4

Объединим противоположные члены в $1 - x^{2} - 1 + x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.4.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{2 (x (- x^{2} + 0 + x^{2}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.4.2

Добавим $- x^{2}$ и $0$ .

$\frac{2 (x (- x^{2} + x^{2}) + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.4.3

Добавим $- x^{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{2 (x \cdot 0 + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.5

Умножим $x$ на $0$ .

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 + x) (1 - x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.6

Развернем $(1 + x) (1 - x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 (1 - x) + x (1 - x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.7.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.7.1.2

Умножим $- x$ на $1$ .

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 - x + x \cdot 1 + x (- x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.7.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 - x + x + x (- x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.7.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 - x + x - x \cdot x) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.7.1.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.7.1.5.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 - x + x - (x \cdot x)) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.7.1.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 - x + x - x^{2}) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.7.2

Добавим $- x$ и $x$ .

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 + 0 - x^{2}) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.7.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ((1 - x^{2}) {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.8

Умножим $1 - x^{2}$ на ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.8.1

Умножим $1 - x^{2}$ на ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.13.8.1.1

Возведем $1 - x^{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 (0 + \arccos (x) ({(1 - x^{2})}^{1} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.8.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 (0 + \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{1 + \frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.8.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 (0 + \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.8.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (0 + \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{2 + 1}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.8.4

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 (0 + \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.13.9

Добавим $0$ и $\arccos (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.14

Перенесем ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{2 \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1

Умножим ${(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}}$ на ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.15.1.1

Перенесем ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \arccos (x) ({(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{3}{2}})}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.15.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}}}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.15.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1 + 3}{2}}}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.15.1.4

Добавим $- 1$ и $3$ .

$\frac{2 \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.15.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{2 \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{1}}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.15.2

Упростим $2 \arccos (x) {(1 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{2 \arccos (x) (1 - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.16

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.16.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 \arccos (x) (1^{2} - x^{2})}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.16.2

$\frac{2 \arccos (x) (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.17

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.17.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \arccos (x) (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 4.17.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \arccos (x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.18

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.18.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \arccos (x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 4.18.2

Разделим $2 \arccos (x)$ на $1$ .

$2 \arccos (x)$