Математический анализ Примеры

$y = 3 x^{2} (2 x + 1)$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2} (2 x + 1)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} (2 x + 1)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 2 x + 1$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1] + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$3 (x^{2} (2 + \frac{d}{d x} [1]) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (x^{2} (2 + 0) + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$3 (x^{2} \cdot 2 + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.6.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$3 (2 \cdot x^{2} + (2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x^{2} + (2 x + 1) (2 x))$

Этап 3.8

Перенесем $2$ влево от $2 x + 1$ .

$3 (2 x^{2} + 2 \cdot (2 x + 1) x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 x^{2} + (2 (2 x) + 2 \cdot 1) x)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 x^{2} + 2 (2 x) x + 2 \cdot 1 x)$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 x^{2}) + 3 (2 (2 x) x) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Этап 4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x^{2} + 3 (2 (2 x) x) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Этап 4.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$6 x^{2} + 3 (4 x \cdot x) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Этап 4.4.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 x^{2} + 3 (4 (x^{1} x)) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Этап 4.4.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 x^{2} + 3 (4 (x^{1} x^{1})) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Этап 4.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 x^{2} + 3 (4 x^{1 + 1}) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Этап 4.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$6 x^{2} + 3 (4 x^{2}) + 3 (2 \cdot 1 x)$

Этап 4.4.7

Умножим $4$ на $3$ .

$6 x^{2} + 12 x^{2} + 3 (2 \cdot 1 x)$

Этап 4.4.8

Умножим $2$ на $1$ .

$6 x^{2} + 12 x^{2} + 3 (2 x)$

Этап 4.4.9

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x^{2} + 12 x^{2} + 6 x$

Этап 4.4.10

Добавим $6 x^{2}$ и $12 x^{2}$ .

$18 x^{2} + 6 x$