Математический анализ Примеры

$y = 3 \sqrt[3]{2 x^{2} + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2 x^{2} + 1}$ в виде ${(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = 2 x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x^{2} + 1$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{2} + 1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Этап 6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$3 (\frac{1}{3} {(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и ${(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{{(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Этап 7.3

Перенесем ${(2 x^{2} + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1])$

Этап 7.4

Объединим $\frac{1}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ и $3$ .

$\frac{3}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

Этап 7.5

Сократим общий множитель.

$\frac{3}{3 {(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

Этап 7.6

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{2} + 1]$

Этап 8

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 9

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 11

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 12

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x + 0)$

Этап 13

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Добавим $4 x$ и $0$ .

$\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} (4 x)$

Этап 13.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{4}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}} x$

Этап 13.3

Объединим $\frac{4}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ и $x$ .

$\frac{4 x}{{(2 x^{2} + 1)}^{\frac{2}{3}}}$