Математический анализ Примеры

$y = 3 e^{2 x} \arcsin (x)$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{2 x} \arcsin (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{2 x} \arcsin (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{2 x} \arcsin (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{2 x}$ и $g (x) = \arcsin (x)$ .

$3 (e^{2 x} \frac{d}{d x} [\arcsin (x)] + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 3

Производная $\arcsin (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$3 (e^{2 x} \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 4

Объединим $e^{2 x}$ и $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]))$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]))$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} (2 \cdot 1)))$

Этап 6.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (e^{2 x} \cdot 2))$

Этап 6.3.2

Перенесем $2$ влево от $e^{2 x}$ .

$3 (\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + \arcsin (x) (2 \cdot e^{2 x}))$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 3 (\arcsin (x) (2 e^{2 x}))$

Этап 7.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $3$ и $\frac{e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 3 (\arcsin (x) (2 e^{2 x}))$

Этап 7.2.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 6 \arcsin (x) e^{2 x}$

Этап 7.3

Изменим порядок членов.

$6 e^{2 x} \arcsin (x) + \frac{3 e^{2 x}}{\sqrt{1 - x^{2}}}$