Математический анализ Примеры

$y = 3 e^{4 x} + \log_{5} (7 x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $3 e^{4 x} + \log_{5} (7 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 e^{4 x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{4 x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 x$ .

$3 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 x$ .

$3 (e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x]) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Этап 2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (e^{4 x} (4 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Этап 2.5

Умножим $4$ на $1$ .

$3 (e^{4 x} \cdot 4) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Этап 2.6

Перенесем $4$ влево от $e^{4 x}$ .

$3 (4 \cdot e^{4 x}) + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Этап 2.7

Умножим $4$ на $3$ .

$12 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\log_{5} (7 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $7 x$ .

$12 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [\log_{5} (u_{2})] \frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 3.1.2

Производная $\log_{5} (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2} \ln (5)}$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{u_{2} \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $7 x$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} \frac{d}{d x} [7 x]$

Этап 3.2

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} (7 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} (7 \cdot 1)$

Этап 3.4

Умножим $7$ на $1$ .

$12 e^{4 x} + \frac{1}{7 x \ln (5)} \cdot 7$

Этап 3.5

Объединим $\frac{1}{7 x \ln (5)}$ и $7$ .

$12 e^{4 x} + \frac{7}{7 x \ln (5)}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим общий множитель.

$12 e^{4 x} + \frac{7}{7 x \ln (5)}$

Этап 3.6.2

Перепишем это выражение.

$12 e^{4 x} + \frac{1}{x \ln (5)}$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{x \ln (5)} + 12 e^{4 x}$