Математический анализ Примеры

$y = 3 (4 x + \ln ({(x^{2})}^{2}))$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [3 (4 x + \ln (x^{2 \cdot 2}))]$

Этап 1.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [3 (4 x + \ln (x^{4}))]$

Этап 1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 (4 x + \ln (x^{4}))$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [4 x + \ln (x^{4})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [4 x + \ln (x^{4})]$

Этап 1.3

По правилу суммы производная $4 x + \ln (x^{4})$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

Этап 1.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

Этап 1.6

Умножим $4$ на $1$ .

$3 (4 + \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})])$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4}$ .

$3 (4 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$3 (4 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 (4 + \frac{1}{x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$3 (4 + \frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$3 (4 + \frac{1}{x^{4}} (4 x^{3}))$

Этап 3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $4$ и $\frac{1}{x^{4}}$ .

$3 (4 + \frac{4}{x^{4}} x^{3})$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{4}{x^{4}}$ и $x^{3}$ .

$3 (4 + \frac{4 x^{3}}{x^{4}})$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $4 x^{3}$ .

$3 (4 + \frac{x^{3} \cdot 4}{x^{4}})$

Этап 3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Вынесем множитель $x^{3}$ из $x^{4}$ .

$3 (4 + \frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x})$

Этап 3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$3 (4 + \frac{x^{3} \cdot 4}{x^{3} x})$

Этап 3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$3 (4 + \frac{4}{x})$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \cdot 4 + 3 \frac{4}{x}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $3$ на $4$ .

$12 + 3 \frac{4}{x}$

Этап 4.2.2

Объединим $3$ и $\frac{4}{x}$ .

$12 + \frac{3 \cdot 4}{x}$

Этап 4.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 + \frac{12}{x}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$\frac{12}{x} + 12$