Математический анализ Примеры

$y = 3 \cdot 4^{x^{2} + 2}$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \cdot 4^{x^{2} + 2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [4^{x^{2} + 2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [4^{x^{2} + 2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = 4^{x}$ и $g (x) = x^{2} + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 2$ .

$3 (\frac{d}{d u} [4^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $4$ .

$3 (4^{u} \ln (4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 2$ .

$3 (4^{x^{2} + 2} \ln (4) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) (2 x + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) (2 x + 0)$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$3 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) (2 x)$

Этап 3.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$6 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) x$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Изменим порядок множителей в $6 \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4) x$ .

$6 \cdot 4^{x^{2} + 2} x \ln (4)$

Этап 4.2

Изменим порядок множителей в $6 \cdot 4^{x^{2} + 2} x \ln (4)$ .

$6 x \cdot 4^{x^{2} + 2} \ln (4)$